Problema fisica satelliti

[francesca.martini]

problema di fisica: se la massa del sole è 1.89 x10^30 e la massa del satellite è 4.81 quale distanza devono avere per non collidere? ho pensato di dover uguagliare Fg e forza centrifuga, ma non mi è chiaro
grazie

[Matlurker]

Iniziamo col ricordare che, in presenza di moto circolare, un corpo è soggetto a forza diretta verso il centro e che questa si chiama centripeta, e non centrifuga. Quest'ultima è una forza apparente per un sistema non inerziale solidale col corpo stesso. Dunque si dovrà decidere: se il nostro sistema è solidale col Sole, ad esempio, si dirà forza centripeta. Se il sistema è solidale col corpo, forza centrifuga.

Nel primo caso, il corpo che viaggia di moto rettilineo uniforme con velocità v, è sottoposta a forza gravitazionale, e il moto risultante sarà circolare con accelerazione centripeta. Detto r il raggio orbitale (intendendo la distanza tra il corpo e il centro del Sole):

[math]a_c=\frac{v^2}{r} \Longrightarrow F_c=M_c \cdot \frac{v^2}{r}[/math]

Questa dovrà essere eguagliata dalla forza gravitazionale, perché il corpo rimanga in orbita

[math]F_{grav}=G \cdot \frac{m_1 \cdot m}{r^2}; \, G_{univ}=6,67 \cdot 10^{-11} \, \frac{N\cdot m^2}{kg^2}\\ G_{Sole}=6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 1,989 \cdot 10^{30}=1,33\cdot 10^{20}\, \frac{N\cdot m^2}{kg}\\F_{grav}=1,33\cdot 10^{20} \cdot \frac{M_c}{r^2}[/math]

Non ho sostituito ad M il suo valore in kg perché, come si vede, la massa si semplifica dall'equazione, rendendo la velocità orbitale indipendente dalla massa del corpo. Detta v la velocità orbitale in metri al secondo:

[math]\frac{v^2}{r}=\frac{1,33 \cdot 10^{20}}{r^2}\\r=\frac{1,33 \cdot 10^{20}}{v^2}\, m[/math]

[francesca.martini]

Grazie della risposta, quindi senza la velocità del satellite non si può calcolare la distanza?

[Matlurker]

Esatto. Normalmente si cerca la velocità del satellite ad una certa quota, ovverosia ad ogni orbita è associata una velocità orbitale. Se questa si può approssimare come circolare:

[math]v=\sqrt{\frac{G_{universale} \cdot M_{pianeta}}{d}}[/math]

PS: Ad essere precisi, per quota si intende l'altezza dalla superficie del pianeta, mentre d è, come sappiamo, la distanza dal centro del pianeta. Dunque, se R è il raggio del pianeta e q la quota del satellite, sarà:

[math]v=\sqrt{\frac{G_{universale} \cdot M_{pianeta}}{R_{pianeta}+q}}[/math]