PROBLEMA ELETTROSTATICA
Nel forum c'è già un esercizio simile ma non ho capito.. perciò:
Quattro cariche di uguale valore q , due positive e due negative, sono poste nei vertici di un quadrato di lato 2a, che giace nel piano yz, con la disposizione in figura.
Calcolare:
a) la forza F esercitata dalle altre tre cariche sulla carica +q posta nel vertice (a,a);
b) il campo elettrostatico lungo l' asse x;
Io ho provato a usare questa formula:
(figura)
Ma facendo i conti e confrontando con la soluzione del libro ..beh è diversa..
Quattro cariche di uguale valore q , due positive e due negative, sono poste nei vertici di un quadrato di lato 2a, che giace nel piano yz, con la disposizione in figura.
Calcolare:
a) la forza F esercitata dalle altre tre cariche sulla carica +q posta nel vertice (a,a);
b) il campo elettrostatico lungo l' asse x;
Io ho provato a usare questa formula:
(figura)
Ma facendo i conti e confrontando con la soluzione del libro ..beh è diversa..
Risposte
Devi fare la somma vettoriale, non la somma dei moduli!
Alternativamente, si puo` calcolare il potenziale, che e` una quantita` scalare e quindi e` piu` mansueto... Poi si calcola il gradiente e si ottiene il campo elettrico con la formula
Definiamo bene le cariche e le posizioni:
+q in A(0,-a,a)
+q in B(0,a,a)
-q in C(0,-a,-a)
-q in D(0,a,-a)
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Calcoliamo dunque il potenziale per ricavare la forza sulla carica in B.
Attenzione: un errore molto comune e` quello di calcolare il potenziale in B, poi si rimane incartati perche' non si puo` piu` andare avanti!
Non serve il potenziale in B, ma in un intorno di B, perche' poi se ne dovranno calcolare le derivate!
Quindi scrivo il potenziale in un punto generico dello spazio: P(x,y,z)
(usero` per comodita` la notazione
Il potenziale dovuto alla carica in A e`:
e analogamente per le altre due cariche. Il potenziale totale risulta:
Aggiunto 25 minuti più tardi:
Ora calcoliamo il campo elettrico, componente per componente.
Componente x:
Componente y:
Componente z:
Ed ora basta calcolare il campo elettrico nel punto B(0,a,a):
Per avere la forza basta moltiplicare per +q.
Per avere il campo elettrico sull'asse x: invece di calcolare in B(0,a,a) si calcola in (x,0,0), con x generico.
Quindi
Ho scritto molto velocemente e non ho ricontrollato i calcoli: possono esserci degli errori: per favore controlla bene!
Alternativamente, si puo` calcolare il potenziale, che e` una quantita` scalare e quindi e` piu` mansueto... Poi si calcola il gradiente e si ottiene il campo elettrico con la formula
[math]\vec{E}=-\vec{\nabla}V[/math]
Definiamo bene le cariche e le posizioni:
+q in A(0,-a,a)
+q in B(0,a,a)
-q in C(0,-a,-a)
-q in D(0,a,-a)
Aggiunto 7 minuti più tardi:
Calcoliamo dunque il potenziale per ricavare la forza sulla carica in B.
Attenzione: un errore molto comune e` quello di calcolare il potenziale in B, poi si rimane incartati perche' non si puo` piu` andare avanti!
Non serve il potenziale in B, ma in un intorno di B, perche' poi se ne dovranno calcolare le derivate!
Quindi scrivo il potenziale in un punto generico dello spazio: P(x,y,z)
(usero` per comodita` la notazione
[math]k=1/4\pi\varepsilon_0[/math]
)Il potenziale dovuto alla carica in A e`:
[math]V_A(x,y,z)=k\frac{+q}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z-a)^2}}[/math]
e analogamente per le altre due cariche. Il potenziale totale risulta:
[math]V(x,y,z)=V_A(x,y,z)+V_B(x,y,z)+V_(x,y,z)C=[/math]
[math]=k\frac{+q}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z-a)^2}}+
k\frac{-q}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z+a)^2}}+k\frac{-q}{\sqrt{x^2+(y-a)^2+(z+a)^2}}=
[/math]
k\frac{-q}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z+a)^2}}+k\frac{-q}{\sqrt{x^2+(y-a)^2+(z+a)^2}}=
[/math]
[math]=kq\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z-a)^2}}-
\frac{1}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z+a)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+(y-a)^2+(z+a)^2}}\right)
[/math]
\frac{1}{\sqrt{x^2+(y+a)^2+(z+a)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x^2+(y-a)^2+(z+a)^2}}\right)
[/math]
Aggiunto 25 minuti più tardi:
Ora calcoliamo il campo elettrico, componente per componente.
Componente x:
[math]E_x(x,y,z)=-\frac{\partial V}{\partial x}=
kq\left(\frac{x}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{x}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{x}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
kq\left(\frac{x}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{x}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{x}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
Componente y:
[math]E_y(x,y,z)=-\frac{\partial V}{\partial y}=
kq\left(\frac{y+a}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{y+a}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{y-a}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
kq\left(\frac{y+a}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{y+a}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{y-a}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
Componente z:
[math]E_z(x,y,z)=-\frac{\partial V}{\partial z}=
kq\left(\frac{z-a}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{z+a}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{z+a}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
kq\left(\frac{z-a}{[x^2+(y+a)^2+(z-a)^2]^{3/2}}-
\frac{z+a}{[x^2+(y+a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}-\frac{z+a}{[x^2+(y-a)^2+(z+a)^2]^{3/2}}\right)
[/math]
Ed ora basta calcolare il campo elettrico nel punto B(0,a,a):
[math]E_x(0,a,a)=0
[/math]
[/math]
[math]E_y(0,a,a)=kq\left(\frac{a+a}{[(a+a)^2+(a-a)^2]^{3/2}}-
\frac{a+a}{[(a+a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}-\frac{a-a}{[(a-a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}\right)=
[/math]
\frac{a+a}{[(a+a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}-\frac{a-a}{[(a-a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}\right)=
[/math]
[math]=kq\left(\frac{2a}{8a^3}-\frac{2a}{8^{3/2}a^3}\right)=\frac{kq}{a^2}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2^{7/2}}\right)
[/math]
[/math]
[math]E_z(0,a,a)=kq\left(\frac{a-a}{[(a+a)^2+(a-a)^2]^{3/2}}-
\frac{a+a}{[(a+a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}-\frac{a+a}{[(a-a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}\right)=
[/math]
\frac{a+a}{[(a+a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}-\frac{a+a}{[(a-a)^2+(a+a)^2]^{3/2}}\right)=
[/math]
[math]=
-\frac{kq}{a^2}\left(\frac{1}{2^{7/2}}+\frac{1}{4}\right)
[/math]
-\frac{kq}{a^2}\left(\frac{1}{2^{7/2}}+\frac{1}{4}\right)
[/math]
Per avere la forza basta moltiplicare per +q.
Per avere il campo elettrico sull'asse x: invece di calcolare in B(0,a,a) si calcola in (x,0,0), con x generico.
Quindi
[math]E_x(x,0,0)=kq\left(\frac{x}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-\frac{x}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\frac{x}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=-\frac{kqx}{(x^2+2a^2)^{3/2}}[/math]
[math]E_y(x,0,0)=kq\left(\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-
\frac{-a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}[/math]
\frac{-a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}[/math]
[math]E_y(x,0,0)=kq\left(\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-
\frac{-a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}[/math]
\frac{-a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}[/math]
[math]E_z(x,0,0)=kq\left(\frac{-a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}-
\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}=
-\frac{3kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}
[/math]
\frac{a}{(x^2+2a^2)^{3/2}}\right)=\frac{kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}=
-\frac{3kqa}{(x^2+2a^2)^{3/2}}
[/math]
Ho scritto molto velocemente e non ho ricontrollato i calcoli: possono esserci degli errori: per favore controlla bene!
Ora studio e controllo bene i suoi calcoli ma comunque qualcosa non mi quadra. Probabilmente sto facendo un gran bello errore ma, ahimè, mi sfugge. Io ho fatto così: (figura)
O meglio: ho come la sensazione di sbagliare F3 ma non ci arrivo proprio!
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Ho risolto!! Avevo qualche problema con le componenti. Il suo procedimento è molto interessante ma temo di doverlo vedere dopo altri 2-3 capitoli perché ancora il testo non ha introdotto il potenziale ma solo il campo elettrostatico. Non mancherò nell'integrare il suo prezioso contributo. Grazie per la sua risposta.
O meglio: ho come la sensazione di sbagliare F3 ma non ci arrivo proprio!
Aggiunto 1 giorno più tardi:
Ho risolto!! Avevo qualche problema con le componenti. Il suo procedimento è molto interessante ma temo di doverlo vedere dopo altri 2-3 capitoli perché ancora il testo non ha introdotto il potenziale ma solo il campo elettrostatico. Non mancherò nell'integrare il suo prezioso contributo. Grazie per la sua risposta.
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