Problema dinamica dei sistemi!! Urto elastico sbarra vincolata..

[melizz]

Una sbarra omogenea, di sezione costante, di lunghezza 0.5 m e peso 3 kg, è incernierata in A (un suo estremo). La sbarra è portata in posizione orizzontale e poi lasciata libera senza velocità iniziale. Raggiunta la posizione verticale, la sbarra urta elasticamente in C (altro estremo) una sfera di peso 0.5 kg. Determinare:
1) velocità angolare prima dell'urto (questo punto sono riuscita a risolverlo applicando la conservazione dell'energia--> e viene 7.7 rad/s).
2)velocità angolare dopo l'urto (questo punto non so come farlo!! Ho provato mille volte e non viene!)
3) velocità della sfera acquistata in seguito all'urto (si trascurino gli attriti)

I risultati dati: 2) 2.6 rad/s 3) 5.2 m/s
GRAZIE!!!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

i) Detto

[math]I := \frac{1}{3}\,M\,L^2[/math]

il momento di inerzia dell'asta rispetto all'asse passante
per l'estremo A della sbarra (omogenea), imponendo la conservazione dell'energia
meccanica tra il punto di partenza e quello di arrivo (un istante prima dell'urto), si
ha

[math]M\,g\,L = \frac{1}{2}\,I\,\omega^2 + M\,g\,\frac{L}{2}[/math]

, da cui

[math]\omega = \sqrt{\frac{3\,g}{L}}\\[/math]

.


ii) Trattandosi di un urto perfettamente elastico, si conservano rispettivamente
il momento angolare e l'energia cinetica del sistema. In particolare, si ottiene
il seguente sistema di equazioni:

[math]\begin{cases} I\,\omega_i = I\,\omega_f + m\,v\,L \\ \frac{1}{2}\,I\,\omega_i^2 = \frac{1}{2}\,I\,\omega_f^2 + \frac{1}{2}\,m\,v^2 \end{cases}[/math]

che ri-
solto porge quanto richiesto:

[math]\omega_f = \frac{M - 3\,m}{M + 3\,m}\sqrt{\frac{3\,g}{L}}[/math]

e

[math]v = \frac{2\,M\,L}{M + 3\,m}\sqrt{\frac{3\,g}{L}}\\[/math]

.


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[melizz]

Grazie!!Si, il sistema l'ho capito, ma ti devo disturbare ancora una volta perché non ho capito come ricavare la formula della velocità angolare:(, prima di risponderti ho provato in tutti i modi! Mi potresti indicare almeno i passaggi principali? Grazie:)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, quel bel sistemino lo possiamo riscrivere così:

[math]\begin{cases}
\omega_i = \omega_f + \frac{m\,v\,L}{I} \\
\omega_i^2 = \omega_f^2 + \frac{m\,v^2}{I}
\end{cases}\\[/math]

che equivale a scrivere:

[math]\begin{cases}
\omega_f = \omega_i - \frac{m\,v\,L}{I} \\
\omega_f^2 = \omega_i^2 - \frac{m\,v^2}{I}
\end{cases} \; . \\[/math]

Non rimane che sostituire l'espressione equivalente a

[math]\omega_f[/math]

che porge la
prima equazione nella seconda equazione e risolverla nell'incognita

[math]v[/math]

.
Nota

[math]v[/math]

, sostituendola nella prima equazione determinerai anche

[math]\omega_f\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)