Problema di fisica (216683)

[frida74]

Da che altezza devi lanciare orizzontalmente un oggetto affinché al momento dell'impatto con il terreno formi un angolo di 45* con il terreno stesso ? La velocità iniziale di lancio è 5,3 m/s? Risultato 1,4 metri


me lo potete spiegare, grazie mille

[mc2]

Primo metodo: equazioni del moto

La componente orizzontale della velocita` resta costante durante la caduta:

[math]v_x(t)=v_0=5,3~m/s[/math]

La componente verticale della velocita` e` 0 all'istante iniziale, poi aumenta a causa della gravita`, ed e` diretta verso il basso:

[math]v_y(t)=-gt[/math]

Il corpo cade dalla posizione iniziale

[math]x_0=0[/math]

,

[math]y_0=H[/math]

(incognita).
Le coordinate del corpo durante la caduta sono:

[math]x(t)=v_0t[/math]

[math]y(t)=H-\frac{1}{2}gt^2[/math]

Il tempo di caduta

[math]t_c[/math]

e` il tempo necessario per arrivare a

[math]y=0:[/math]

[math]y(t_c)=0=H-\frac{1}{2}gt_c^2~~~~\Rightarrow~~~~ t_c=\sqrt{\frac{2H}{g}}[/math]

La velocita` del corpo nell'istante della caduta ha componenti

[math]v_x(t_c)=v_0[/math]

(costante)

[math]v_y(t_c)=-gt_c=-\sqrt{2Hg}[/math]

Affinche' la velocita` finale formi un angolo di 45 gradi con il terreno occorre che

[math]v_x(t_c)=|v_y(t_c)|[/math]

cioe`

[math]v_0=\sqrt{2Hg}[/math]

[math]H=\frac{v_0^2}{2g}=1,4~ m[/math]

Secondo metodo: conservazione dell'energia

Energia iniziale: cinetica piu` potenziale (m e` la massa del corpo)

[math]E_i=\frac{1}{2}mv_0^2+mgH[/math]

Energia finale: solo cinetica

[math]E_f=\frac{1}{2}mv_f^2=\frac{1}{2}m(v_{xf}^2+v_{yf}^2)[/math]

La componente orizzontale della velocita` rimane costante nel moto di caduta in un campo di gravita` uniforme:

[math]v_{xf}=v_0[/math]

La componente verticale invece cambia, ma se la velocita` finale forma un angolo di 45 gradi con il terreno, vuol dire che

[math]v_{yf}=v_{xf}=v_0[/math]

Quindi

[math]E_f=\frac{1}{2}m(v_0^2+v_0^2)=mv_0^2[/math]

Conservazione dell'energia

[math]E_i=E_f[/math]

:

[math]\frac{1}{2}mv_0^2+mgH=mv_0^2[/math]

[math]gH=\frac{1}{2}v_0^2[/math]

[math]H=\frac{v_0^2}{2g}=1,4~ m[/math]