Piani inclinati con carrucola

[francesca.martini]

Due corpi di massa m1=20 e m2=10 Kg sono collegati da una corda priva di massa,lungo un piano inclinato con alfa uguale a 35°. M1 scende lungo il piano mentre M2 è appeso lungo la verticale del piano stesso.
il coefficiente di attrito è 0.2
Calcola l’accelerazione

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Siano dati i due piani inclinati mostrati in figura. Le inclinazioni rispetto l'orizzontale dei due lati
siano rispettivamente

[math]\alpha[/math]

,

[math]\beta[/math]

e i rispettivi coefficienti di attrito dinamico pari a

[math]\mu_A[/math]

,

[math]\mu_B[/math]

.
Due corpi di massa

[math]m_A[/math]

,

[math]m_B[/math]

siano appoggiati sui due lati e siano legati da una fune di massa trascurabile ed inestensibile che passi attraverso la gola di una carrucola di massa

[math]m_C[/math]

e raggio

[math]R[/math]

. Si supponga che tra carrucola e fune vi sia perfetta aderenza tale per cui si muovano assieme, mentre il supporto della carrucola imprima un momento frenante di intensità

[math]M_f[/math]

. Calcolare l'accelerazione

[math]\mathbf{a}[/math]

del sistema e le tensioni

[math]\mathbf{T_A}[/math]

,

[math]\mathbf{T_B}[/math]

nei tratti di filo a cui sono collegati i due corpi.

Supponendo di essere nelle condizioni iniziali in cui il corpo

[math]A[/math]

sale e il corpo

[math]B[/math]

scende, applicando la seconda legge di Newton, si ottiene il seguente sistema di equazioni:

[math]
\begin{cases}
- m_A\,g\,\sin\alpha - \mu_A\,m_A\,g\,\cos\alpha + T_A = \,m_A\,a \\
m_B\,g\,\sin\beta - \mu_B\,m_B\,g\,\cos\beta - T_B = m_B\,a \\
T_B\,R - T_A\,R - M_f = \left(\frac{1}{2}m_C\,R^2\right)\left(\frac{a}{R}\right)
\end{cases}\\
[/math]

che risolto porge quanto desiderato, ovvero:

[math]
\begin{cases}
a = g\,\frac{m_B \left(\sin\beta - \mu_B\,\cos\beta\right) - m_A \left(\sin\alpha + \mu_A\,\cos\alpha\right) - \frac{M_f}{g\,R}}{m_A + m_B + \frac{1}{2}m_C} \\
T_A = m_A\,\left[g \left(\sin\alpha + \mu_A\,\cos\alpha\right) + a\right] \\
T_B = m_B\,\left[g \left(\sin\beta - \mu_B\,\cos\beta\right) - a\right] \\
\end{cases}\\
[/math]

Quello mostrato è il caso più generale che potrà capitarti (in realtà si potrebbe complicare ancora
di più ma a quel punto occorrerebbero degli strumenti matematici più sofisticati che non mi pare il
caso di tirare in ballo). Nello specifico, la carrucola non è nemmeno menzionata e questo è indice
del fatto che il proprio momento d'inerzia è trascurabile (sostanzialmente la si considera puntiforme)
e quindi la terza equazione non ha nemmeno più "modo di esistere": essa porge banalmente

[math]T_B = T_A := T[/math]

(la tensione del filo è approssimativamente la stessa in ogni proprio punto).
Inoltre, sappiamo che

[math]\alpha = 90°[/math]

,

[math]\beta = 35°[/math]

,

[math]\mu_A = 0.2[/math]

,

[math]\mu_B = 0[/math]

,

[math]m_A = 10\,kg[/math]

e

[math]m_B = 20\,kg[/math]

. A te i conticini. ;)

[francesca.martini]

ciao grazie della risposta. posso non considerare massa e raggio della carrucola? La prof non ne parla.......

Certamente, infatti sopra ho scritto che la carrucola,
nel tuo caso particolare, è considerata puntiforme.
In altri termini, la carrucola è considerata solamente
come organo per cambiare di direzione alle forze
senza modificarne le intensità. ;)