Oscillazioni su piano inclinato e masse collegate
Salve ho un altro problema sulle oscillazioni, potreste aiutarmi?
Ho già scritto le equazioni di newton con cui mi ricavo la relativa equazione differenziale del moto armonico:
e a questo punto mi ricavo la costante C dell'equazione generica
che ha soluzioni generali
con
e
ma è proprio qui che c'è l'intoppo: come faccio a ricavare
Ho già scritto le equazioni di newton con cui mi ricavo la relativa equazione differenziale del moto armonico:
[math](m2g - m1gsinθ + kx0)/(m1+m2) -(k/(m1+m2)) * x(t) =[/math]
[math]-(k/(m1+m2)) * x(t) + C[/math]
e a questo punto mi ricavo la costante C dell'equazione generica
[math](d^2x(t)/dt^2) + ω0 * x(t) = C[/math]
che ha soluzioni generali
[math]x(t) = C/ω0^2 + Asin(ω0t + Φ)[/math]
con
[math]ω0^2 = k/(m1+m2)[/math]
e
[math]v0 = v(0) = ω0AcosΦ[/math]
ma è proprio qui che c'è l'intoppo: come faccio a ricavare
[math]x0[/math]
dato che non mi viene data nessuna indicazione sulle condizioni iniziali fra i dati del problema??
Risposte
Non capisco come hai scritto l'equazione differenziale.
Secondo me dovrebbe essere (x=posizione della massa m_1) :
Adesso non ho tempo di scrivere, ci risentiamo piu` avanti.
Ciao
Secondo me dovrebbe essere (x=posizione della massa m_1) :
[math](m_1+m_2)\ddot{x}+kx=m_1g\sin\theta-m_2g[/math]
Adesso non ho tempo di scrivere, ci risentiamo piu` avanti.
Ciao
si è la stessa cosa, solo che al posto di
Aggiunto 9 minuti più tardi:
e che ovviamente
Aggiunto 50 minuti più tardi:
comunque mi basta solo un suggerimento sul tipo di equazioni da utilizzare non che risolvi tutto il problema!
[math]x[/math]
io ho messo [math]x(t)-x0[/math]
e che ho assunto come versore positivo quello della forza peso, ovvero, che [math]m2g[/math]
punta verso la direzione positiva e che [math]m1gsinθ[/math]
e [math]k(x(t)-x0)[/math]
puntano nella direzione opposta:[math]m2g - m1gsinθ -k(x(t)-x0) = (m1+m2)(d^2x(t)/dt^2)[/math]
Aggiunto 9 minuti più tardi:
e che ovviamente
[math]d^2x(t)/dt^2 = -ω0^2*x(t) + C = -(k/(m1+m2))*x(t)[/math]
Aggiunto 50 minuti più tardi:
comunque mi basta solo un suggerimento sul tipo di equazioni da utilizzare non che risolvi tutto il problema!
Ciao, ora non riesco a scrivere e spiegare bene. Lunedi ti mando una spiegazione piu esauriente.
Questo esercizio si presta ad una soluzione con il metodo lagrangiano (se l' hai già studiato)
Questo esercizio si presta ad una soluzione con il metodo lagrangiano (se l' hai già studiato)
Ho risolto!
1)
Metto a sistema le forze agenti in un tempo t generico:
ed esprimo la forza elastica come kx(t) poiché nel problema c'è scritto che "inizialmente il punto m2 è all’altezza h = 1m mentre il punto m1 si trova in quiete alla base del piano inclinato (molla a riposo)", ovvero, che all'istante t=0 quando il punto m2 si trova ad altezza h, di conseguenza il punto di massa m1 si trova alla base del piano inclinato ( e non come è rappresentato nella figura, dove il punto m2 è ad altezza h e la molla sembra avere già una lunghezza a riposo diversa da 0)
2)
Mi ricavo la relativa equazione differenziale:
e dopo aver posto
ottengo:
3)
Dopo aver imposto le condizioni iniziali (cioè
e quindi:
a)
La quota del punto m2 dopo t=1s è data da:
b)
La quota minima raggiunta dal punto m2
(
è raggiunta quando la quantità
e quindi:
c)
Dalle equazioni di newton si ricava
la tensione in funzione dell'allungamento della molla:
e da ciò si evince che:
(ovvero l'istante ,che avevamo trovato nel punto precedente, in cui l'allungamento della molla è massimo)
(ovvero, la tensione è massima nel momento in cui la forza elastica si annulla)
per cui:
1)
Metto a sistema le forze agenti in un tempo t generico:
[math]m2g - T = m2a(t)[/math]
[math]T - m1gsinθ - kx(t) = m1a(t)[/math]
ed esprimo la forza elastica come kx(t) poiché nel problema c'è scritto che "inizialmente il punto m2 è all’altezza h = 1m mentre il punto m1 si trova in quiete alla base del piano inclinato (molla a riposo)", ovvero, che all'istante t=0 quando il punto m2 si trova ad altezza h, di conseguenza il punto di massa m1 si trova alla base del piano inclinato ( e non come è rappresentato nella figura, dove il punto m2 è ad altezza h e la molla sembra avere già una lunghezza a riposo diversa da 0)
2)
Mi ricavo la relativa equazione differenziale:
[math]a(t) + [k/(m1+m2)]x(t) = (m2g - m1gsinθ)/(m1+m2)[/math]
e dopo aver posto
[math]a(t) = d^2x(t)/dt^2[/math]
, [math]k/(m1+m2) = ω^2[/math]
, [math](m2g - m1gsinθ)/(m1+m2) = C[/math]
ottengo:
[math]d^2x(t)/dt^2 + ω^2x(t) = C[/math]
3)
Dopo aver imposto le condizioni iniziali (cioè
[math]x(0) = 0[/math]
e [math]v(0) = 0[/math]
) ottengo l'equazione della traiettoria del punto m1 sul piano inclinato descritta da:[math]x(t) = (C/ω^2) * [1-cos(ωt)][/math]
e quindi:
a)
La quota del punto m2 dopo t=1s è data da:
[math]xm2(t) = h - x(t)[/math]
[math]= h - x(1s)[/math]
[math]= h - (C/ω^2) * [1-cos(ω)] = 0.287m[/math]
b)
La quota minima raggiunta dal punto m2
(
[math]xm2(t) = h - x(t)[/math]
)è raggiunta quando la quantità
[math]h - x(t)[/math]
è minima e cioè, quando [math]x(t)[/math]
è massima:[math]x(t)max: dx(t)/dt = 0 v(t) = 0[/math]
[math] (c/ω^2)*[ωsin(ωt)] = 0[/math]
[math] sin(ωt) = 0[/math]
[math] ωt = π[/math]
[math] t = π/ω[/math]
e quindi:
[math]xm2(t)min = h - x(t)max[/math]
[math]= h - x(π/ω)[/math]
[math]= h - (C/ω^2) * [1-cos(ωπ/ω)] = 0.183m[/math]
c)
Dalle equazioni di newton si ricava
[math]T(x(t))[/math]
, ovvero, la tensione in funzione dell'allungamento della molla:
[math](m2g - T)/m2 = [T - m1gsinθ - kx(t)]/m1[/math]
[math]--> T(x(t)) = m1m2g(1+sinθ)/(m1+m2) + [m2/(m1+m2)]*kx(t)[/math]
e da ciò si evince che:
[math]Tmax = T(x(t)max)[/math]
[math]x(t)max: t = π/ω[/math]
(ovvero l'istante ,che avevamo trovato nel punto precedente, in cui l'allungamento della molla è massimo)
[math]Tmin = T(0)[/math]
(ovvero, la tensione è massima nel momento in cui la forza elastica si annulla)
per cui:
[math]Tmax = T(x(t)max) = T(x(π/ω)) = 47.82N[/math]
[math]Tmin = T(0) = m1m2g(1+sinθ)/(m1+m2) = 11.04N[/math]
La tua soluzione e` perfetta.
Io avevo scritto dei segni sbagliati nella mia equazione ma tu non sei caduto nel trabocchetto!
Scherzo... avevo scritto in fretta e senza controllare per cui mi sono scappati i segni. Ma i tuoi sono giusti!
Una piccola osservazione: l'ultimo punto si risolve un po' piu` velocemente se ricavi T dall'equazione per m_2:
ma ovviamente il risultato e` identico.
Io avevo scritto dei segni sbagliati nella mia equazione ma tu non sei caduto nel trabocchetto!
Scherzo... avevo scritto in fretta e senza controllare per cui mi sono scappati i segni. Ma i tuoi sono giusti!
Una piccola osservazione: l'ultimo punto si risolve un po' piu` velocemente se ricavi T dall'equazione per m_2:
[math]T=m_2(g-a(t))[/math]
ma ovviamente il risultato e` identico.
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