OSCILLATORE ARMONICO (Problema di fisica)
Un punto materiale si trova su una piattaforma orizzontale. Quest’ultima si muove lungo un asse verticale con moto armonico di equazione z(t) = z0 sin(ω t), dove ω = 2rad/s. Sapendo che la velocità iniziale della piattaforma è pari a v(0)= v0 =6m/s, determinare:
a) l’istante td e la quota zd in cui il punto materiale si stacca dalla piattaforma;
b) l’equazione per calcolare l’istante t∗ in cui il punto materiale ricade sulla piattaforma (senza risolverla).
{a) td =0.479s, zd =2.45m;
b) z0 sin(ω t∗)= zd +vd(t∗−td)− 1 2 g(t∗−td)2 , vd = v(td)
(con metodi numerici si ricava t∗ =1.74s).}
Per favore potreste aiutarmi? Non riesco proprio a capire che significa trovare l'istante in cui il punto si stacca! ho provato a risolvere il primo punto pensando che ricavare v(t)=0 mi desse il tempo esatto in cui la piattaforma si blocca e il punto si stacca ma il risultato non combacia
a) l’istante td e la quota zd in cui il punto materiale si stacca dalla piattaforma;
b) l’equazione per calcolare l’istante t∗ in cui il punto materiale ricade sulla piattaforma (senza risolverla).
{a) td =0.479s, zd =2.45m;
b) z0 sin(ω t∗)= zd +vd(t∗−td)− 1 2 g(t∗−td)2 , vd = v(td)
(con metodi numerici si ricava t∗ =1.74s).}
Per favore potreste aiutarmi? Non riesco proprio a capire che significa trovare l'istante in cui il punto si stacca! ho provato a risolvere il primo punto pensando che ricavare v(t)=0 mi desse il tempo esatto in cui la piattaforma si blocca e il punto si stacca ma il risultato non combacia
Risposte
Il punto si stacca dalla piattaforma PRIMA che questa si blocchi, ed esattamente nell'istante in cui la reazione vincolare della piattaforma si annulla.
Innanzi tutto ricaviamo velocita` e accelerazione della piattaforma:
Dall'informazione sulla velocita` iniziale ricaviamo:
In ogni istante in cui il corpo e` a contatto della piattaforma, su di esso agiscono due forze: la forza peso mg (verso il basso) e la reazione vincolare della piattaforma N (verso l'alto). Siccome il corpo si muove insieme alla piattaforma (prima che si stacchi, ovviamente), la sua accelerazione e` la stessa della piattaforma:
In ogni istante deve valere la legge di Newton:
da cui si ricava la reazione vincolare:
Ovviamente anche la reazione vincolare dipende dal tempo, finche' essa e` positiva, vuol dire che la piattaforma deve sostenere il corpo (per contrastare la gravita`). Ma quando N(t) e` negativa vuole dire che la piattaforma dovrebbe trattenere il corpo per mantenerlo a contatto! Questo e` impossibile: quindi il contatto cessa (cioe` il corpo si stacca) nell'istante
Detto in modo intuitivo: quando la piattaforma risale rallentando anche il corpo rallenta, ma se il rallentamento della piattaforma e` piu` rapido di quello della gravita`, il corpo si stacca e prosegue con un moto di salita e discesa in un campo gravitazionale costante.
Dall'equazione precedente, ponendo N(t_d)=0 :
La velocita` del corpo al momento del distacco e`
Dal momento del distacco in poi, il corpo prosegue con un moto di caduta libera:
La piattaforma invece prosegue indisturbata la sua oscillazione:
Il corpo ricadra` sulla piattaforma nell'istante
Innanzi tutto ricaviamo velocita` e accelerazione della piattaforma:
[math]v(t)=z_0\omega\cos(\omega t)[/math]
[math]a(t)=-z_0\omega^2\sin(\omega t)[/math]
Dall'informazione sulla velocita` iniziale ricaviamo:
[math]v_0=z_0\omega=6~m/s[/math]
e quindi [math]z_0=v_0/\omega=3~m.[/math]
In ogni istante in cui il corpo e` a contatto della piattaforma, su di esso agiscono due forze: la forza peso mg (verso il basso) e la reazione vincolare della piattaforma N (verso l'alto). Siccome il corpo si muove insieme alla piattaforma (prima che si stacchi, ovviamente), la sua accelerazione e` la stessa della piattaforma:
[math]a(t)=\frac{d^2z}{dt^2}=-z_0\omega^2\sin(\omega t)[/math]
In ogni istante deve valere la legge di Newton:
[math]ma(t)=-mg+N(t)[/math]
da cui si ricava la reazione vincolare:
[math]N(t)=m(g+a(t))=m(g-z_0\omega^2\sin(\omega t))[/math]
Ovviamente anche la reazione vincolare dipende dal tempo, finche' essa e` positiva, vuol dire che la piattaforma deve sostenere il corpo (per contrastare la gravita`). Ma quando N(t) e` negativa vuole dire che la piattaforma dovrebbe trattenere il corpo per mantenerlo a contatto! Questo e` impossibile: quindi il contatto cessa (cioe` il corpo si stacca) nell'istante
[math]t_d[/math]
in cui [math]N(t_d)=0[/math]
.Detto in modo intuitivo: quando la piattaforma risale rallentando anche il corpo rallenta, ma se il rallentamento della piattaforma e` piu` rapido di quello della gravita`, il corpo si stacca e prosegue con un moto di salita e discesa in un campo gravitazionale costante.
Dall'equazione precedente, ponendo N(t_d)=0 :
[math]\sin(\omega t_d)=\frac{g}{z_0\omega^2}=\frac{g}{v_0\omega}=0.817[/math]
[math]t_d=\frac{1}{\omega}\mbox{arcsin}(0.817)=0.478~s[/math]
[math]z_d=z_0\cdot 0.817=2.45~m.[/math]
La velocita` del corpo al momento del distacco e`
[math]v_d=z_0\omega \cos(\omega t_d)[/math]
Dal momento del distacco in poi, il corpo prosegue con un moto di caduta libera:
[math]z_c(t)=z_d+v_d(t-t_d)-\frac{1}{2}g(t-t_d)^2[/math]
La piattaforma invece prosegue indisturbata la sua oscillazione:
[math]z(t)=z_0\sin(\omega t)[/math]
Il corpo ricadra` sulla piattaforma nell'istante
[math]t^*[/math]
tale che[math]z(t^*)=z_c(t^*)[/math]
Grazie mille non ci sarei mai arrivato da solo!
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