Non riesco a ricavare queste espressioni riguardo ai due teoremi di Guldino. chi mi può svolgere la risposta?

[pdc02]

Ricavare le espressioni della superficie e del volume della sfera, mediante i teoremi di Guldino.

[Studente Anonimo]

Ciao,

il primo teorema di Guldino dice che:
il volume generato da una superficie piana che ruota attorno ad un asse è dato dal prodotto dell’area della figura per la lunghezza della
circonferenza descritta dal baricentro.

[math]V=2\pi X_{G}\cdot A[/math]

Per la sfera abbiamo che:

[math] X_{G}=\frac{4r}{3\pi}[/math]

da cui:

[math]V=2\pi\frac{4r}{3\pi}\cdot\frac{\pi r^{2}}{2}=\frac{4}{3}\pi r^{3}[/math]

il secondo teorema di Guldino dice che:
La superficie generata da una curva che ruota attorno ad un asse è dato dal prodotto della lunghezza della curva per la lunghezza della circonferenza descritta dal baricentro.

[math]S_{l}=2\pi X_{G}\cdot l[/math]

Per la sfera abbiamo che:

[math] X_{G}=\frac{2r}{\pi}[/math]

da cui:

[math]S=2\pi\frac{2r}{\pi}\cdot \pi r =4\pi r^{2}[/math]

saluti :-)

[pdc02]

Il 1° teorema enuncia della superficie di rotazione e il 2° il solido di rotazione. ma grazie mille comunque.