Momento di inerzia di un anello sottile rispetto a un asse parallelo al piano dell'anello

[Newton_1372]

http://img821.imageshack.us/i/anello.png/

Tentata risoluzione. Il momento d'inerzia di ogni punto dell'anello è

[math] dI = d^2 dm = d^2 \sigma dS = d^2\sigma r d\phi[/math]

. Avendosi

[math]\tan\theta = \frac{r}{x} [/math]

si ha in definitiva

[math]dI = d^2\sigma r d\phi=(r\sec(\arctan\frac{r}{x}))^2\sigma r d\phi[/math]

è giusto almeno teoricamente? Poi dovrei integrare da 0 a 2 pi per avere il momento d'inerzia totale totale

[math]I = \int_0^{2\pi} r^3\sec^2(\arctan\frac{r}{x})\sigma d\phi[/math]

[the.track]

Dunque vediamo. Io direi che:

[math]I_z= \int R^2 dm [/math]

Adesso trovo un espressone migliore per

[math]dm[/math]

, avremo quindi:

[math]I_z=\rho _l R^2 dl[/math]

Dove con

[math]\rho_l[/math]

ho indicato la densità lineare dell'anello.

Da qui possiamo risolvere vedendo che l'unica grandezza dipendente da

[math]l[/math]

è il suo stesso differenziale. Quindi:

[math]I_z=\rho_l R^2 2\pi R[/math]

Semplificando con la densità risolvi e trovi appunto che:

[math]I_z=mR^2[/math]

;)

Aggiunto 42 secondi più tardi:

Ricordati di sfruttare le simmetrie! In questo caso le coordinate polari sono le migliori.