Lavoro ed integrale di linea.
Ciao a tutti, sto studiando il lavoro ed è saltato fuori questo integrale di linea. Ci sto ormai da un po' su e non riesco a proprio a farmi un idea di cosa questo sia. Qualcuno potrebbe chiarirmi il concetto di integrale di linea, magari anche a livello grafico e geometrico, e spiegarmi meglio la sua funzione nel calcolo del lavoro di una forza?? Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Se ti basta il concetto è banale.
L'integrale di linea non calcola altro che la lunghezza del tratto percorso. Tanto per farti un esempio prendiamo un corpo che compie un moto parabolico su un piano con un certo coefficiente di attrito. allora per poter calcolare la differenza di energia cinetica fra l'istante finale e quello iniziale dobbiamo trovare quanta "strada" fa il corpo. Ma questa "strada" altro non è che l'arco di parabola. L'integrale di linea ti permette proprio di calcolare questo arco.
Ad esempio prendiamo un moto circolare. Vogliamo vedere di quanto cala l'energia cinetica dopo un giro completo assumendo una certa forza di attrito. Il lavoro svolto dalla forze di attrito sarà:
Siccome sappiamo che il moto giace su una circonferenza e sapendo che
In quanto, nel nostro caso:
Ho omesso l'intervallo di integrazione, sottointendendo che il corpo parte da un punto A e arriva in A.
Spero di averti tolto qualche dubbio. Se vuoi una definizione più formale (aspetto matematico) meglio se chiedi nella sezione matematica. Non avendo ancora io fatto analisi 2 mi è difficile dirti come fare i conti per risolverlo. :)
Se hai dubbi sotto una spetto fisico, chiedi. :)
L'integrale di linea non calcola altro che la lunghezza del tratto percorso. Tanto per farti un esempio prendiamo un corpo che compie un moto parabolico su un piano con un certo coefficiente di attrito. allora per poter calcolare la differenza di energia cinetica fra l'istante finale e quello iniziale dobbiamo trovare quanta "strada" fa il corpo. Ma questa "strada" altro non è che l'arco di parabola. L'integrale di linea ti permette proprio di calcolare questo arco.
Ad esempio prendiamo un moto circolare. Vogliamo vedere di quanto cala l'energia cinetica dopo un giro completo assumendo una certa forza di attrito. Il lavoro svolto dalla forze di attrito sarà:
[math]W_{att}=\oint \vec{F_{att}}\: d\vec{s}[/math]
Siccome sappiamo che il moto giace su una circonferenza e sapendo che
[math]||\vec{F}||=cost[/math]
, avremo che:[math]W=||F||\cdot 2\pi\cdot R[/math]
In quanto, nel nostro caso:
[math]\oint \: ds = 2\pi\cdot R[/math]
Ho omesso l'intervallo di integrazione, sottointendendo che il corpo parte da un punto A e arriva in A.
Spero di averti tolto qualche dubbio. Se vuoi una definizione più formale (aspetto matematico) meglio se chiedi nella sezione matematica. Non avendo ancora io fatto analisi 2 mi è difficile dirti come fare i conti per risolverlo. :)
Se hai dubbi sotto una spetto fisico, chiedi. :)
qualcosa mi è già più chiara,però c è ancora qualcosa che vorrei chiederti. Per come hai detto tu l integrale di linea serve per calcolare la lunghezza del tratto percorso, quindi posso dare per definitivo ( come già stavo cominciando a pensare) che nn ha niente a che fare con l integrale normale di una funzione? cioè non calcola nessuna area giusto?
Inoltre non ho ancora capito bene a questo punto il ruolo dell integrale di linea nella definizione di lavoro; mi spiego meglio, se il lavoro elementare è il prodotto scalare tra la forza applicata ad un punto materiale per il conseguente spostamento infinitesimo, perchè per calcolare il lavoro su uno spostamento finito, si fa l integrale di linea? non influisce su questo concetto anche fatto che la forza sia variabile ?spero si essermi spiegato, altrimenti dimmelo che cerco di essere più preciso.
P.S
Devi ancora fare analisi due!!!!! dall importanza che hai in questo forum e dalla tua competenza in fisica pensavo fossi un professore ( anche perchè non avevo mai notato l età)....complimenti davvero, sei un genio!!
Inoltre non ho ancora capito bene a questo punto il ruolo dell integrale di linea nella definizione di lavoro; mi spiego meglio, se il lavoro elementare è il prodotto scalare tra la forza applicata ad un punto materiale per il conseguente spostamento infinitesimo, perchè per calcolare il lavoro su uno spostamento finito, si fa l integrale di linea? non influisce su questo concetto anche fatto che la forza sia variabile ?spero si essermi spiegato, altrimenti dimmelo che cerco di essere più preciso.
P.S
Devi ancora fare analisi due!!!!! dall importanza che hai in questo forum e dalla tua competenza in fisica pensavo fossi un professore ( anche perchè non avevo mai notato l età)....complimenti davvero, sei un genio!!
Io in realtà ho detto che la forza era quella di attrito (dinamico essendoci moto) in quanto questa è costante e sempre di verso opposto al moto.
Allora vediamo di chiarire e generalizzare l'aspetto fisico.
Il lavoro è definito su un percorso finito (infinito credo solo nel caso ci si muova in campi gravitazionali, vedi ad esempio la velocità di fuga di un pianeta)(chiuso o aperto che sia) come:
Allora se F è variabile la soluzione dell'integrale può risultare complessa a meno che non si conosca F in funzione di s. Ti faccio un esempio.
Troviamo il lavoro fatto da una forza elastica. Converrai con me che F varia in verso e modulo. Impostiamo il lavoro di questa forza:
Dove
Avremo risolvendo l'integrale:
Come puoi vedere abbiamo una forza variabile di cui però conosciamo i valori in funzione di x (spostamento) quindi possiamo calcolare l'integrale. Se noi avessimo avuto la forza in funzione del tempo avremo dovuto in qualche modo trovarla in funzione di x per ovvie ragioni.
Per favore non chiedermi come fare che avrei non poche difficoltà a ricavarla, anche perché bisognerebbe conoscere la traiettoria del moto.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
Dopo ti spiego bene il discorso dell'integrale di linea che nasce assieme alle forze non conservative. Adesso vado a mangiare. A dopo. :hi
Aggiunto 1 ore 23 minuti più tardi:
L'integrale di linea come dicevo nasce con le forze non conservative, ossia quelle forze che dissipano energia in base al loro spazio e tempo di applicazione. La più nota è appunto la forza di attrito, costante in modulo nel tempo e nello spazio. Ma allora se il lavoro da lei compiuto dipende dallo spazio e dal tempo della sua applicazione, significa che dipende dal percorso, ossia dalla traiettoria del corpo durante il moto. Pertanto per poterne calcolare il lavoro dobbiamo conoscere la lunghezza di questo tragitto. Ma la lunghezza di questo tragitto è proprio data dall'integrale di linea. Ecco perché quando noi scriviamo il lavoro delle forze non conservative (come quella d'attrito) scriviamo:
Calcoliamo il lavoro lungo la traiettoria compiuta.
Prova a far girare su un piano con un corda una pallina o un corpo generico. Ovviamente c'è attrito fra il piano e la pallina. La forza centripeta che noi applichiamo al corpo per farlo ruotare è centrale pertanto fa lavoro nullo. Prova a far girare la pallina con un raggio mettiamo di 50 cm, e prova a valutarne la velocità finale. Dopodiché prova a far ruotare la stessa pallina allo stesso modo con la stessa velocità iniziale ma con un raggio di 20 cm. Ti accorgerai che la velocità di arrivo diminuisce in funzione del raggio, questo significa che la forza di attrito disturba il nostro moto in base al percorso. In questo caso il percorso è una circonferenza, e quindi la lunghezza sarà
Ecco spero di essere stato chiaro. Se vuoi l'aspetto matematico come dicevo prima chiedi nella sezione di matematica. ;)
Aggiunto 1 ore 50 minuti più tardi:
mmmm... non so se ho capito la tua domanda, ma direi che ti è sfuggito qualcosa.
L'integrale di linea lo usi su forze non conservative.
Se le forze che hai sono conservative allora il lavoro diventa:
Senza usare l'integrale di linea visto che, essendo conservative le forze, non dipendono dal percorso fatto.
Adesso non so se ho risposto alla tua domanda. Se non l'ho fatto dimmelo. :)
Aggiunto 30 minuti più tardi:
In questo caso abbiamo una forza conservativa e una non conservativa (l'attrito con l'aria).
Semplicemente troveremo che:
Risolvi sapendo la caduta di energia potenziale e conoscendo l'energia cinetica finale. ;)
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Forse in questo caso dovremmo fare un diagramma delle forze per capirci bene e un disegno fatto bene. Comunque tieni conto che ci sono forze che non possiamo calcolare a priori ma solamente indirettamente. Come in questo caso. Inoltre dobbiamo avere un numero di dati minimi altrimenti è come se io ti chiedessi:
Calcolare la velocità dopo 3 metri di un corpo sapendo che parte da fermo.
Non credo t ne sia in grado.
Aggiunto 31 minuti più tardi:
Si e no. Nel senso che se il lavoro fatto dalla forza di attrito risulta maggiore di quello fatto dalla forza peso cosa succede? che la palla va in su?
Aggiunto 22 minuti più tardi:
Beh ma pensa solo che il lavoro è fatto dalla forza per lo spostamento. Siccome la palla cade se questa non compie una traiettoria verticale, ci può essere uno spostamento anche lungo x che fa aumentare in valore assoluto il lavoro dell'attrito. Anche se la cosa è abbastanza forzata. Comunque stiamo divagando in cose inutili. Secondo me dovresti fermarti prima dell'esempio e soprattutto dirmi cosa intendi con precisione con teorema delle forze vive.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
ok. Siccome ognuno lo chiama a proprio modo non so mai cosa l'utente intenda. Comunque guarda che se hai problemi chiedi eh. La mia non era un'affermazione per chiudere la discussione, era solo un invito a non perdersi a campi (fra l'altro di difficile trattazione, come l'attrito viscoso). :)
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Prego! Alla prossima. ;)
Campagna di sensibilizzazione:
Vota la miglior risposta. :)
Allora vediamo di chiarire e generalizzare l'aspetto fisico.
Il lavoro è definito su un percorso finito (infinito credo solo nel caso ci si muova in campi gravitazionali, vedi ad esempio la velocità di fuga di un pianeta)(chiuso o aperto che sia) come:
[math]W=\int_{A}^{B}\vec{F}\: d\vec{s}[/math]
Allora se F è variabile la soluzione dell'integrale può risultare complessa a meno che non si conosca F in funzione di s. Ti faccio un esempio.
Troviamo il lavoro fatto da una forza elastica. Converrai con me che F varia in verso e modulo. Impostiamo il lavoro di questa forza:
[math]W=\int_{A}^{B}\vec{F}\: d\vec{s}= \int_{A}^{B}-kx\vec{u_x}\: dx\vec{u_x}[/math]
Dove
[math]\vec{u_x}[/math]
è versore lungo x.Avremo risolvendo l'integrale:
[math]W=-k\int_{A}^{B}x\: dx=\frac{1}{2}kx_A^2-\frac{1}{2}kx_B^2=-\Delta U[/math]
Come puoi vedere abbiamo una forza variabile di cui però conosciamo i valori in funzione di x (spostamento) quindi possiamo calcolare l'integrale. Se noi avessimo avuto la forza in funzione del tempo avremo dovuto in qualche modo trovarla in funzione di x per ovvie ragioni.
Per favore non chiedermi come fare che avrei non poche difficoltà a ricavarla, anche perché bisognerebbe conoscere la traiettoria del moto.
Aggiunto 1 minuti più tardi:
Dopo ti spiego bene il discorso dell'integrale di linea che nasce assieme alle forze non conservative. Adesso vado a mangiare. A dopo. :hi
Aggiunto 1 ore 23 minuti più tardi:
L'integrale di linea come dicevo nasce con le forze non conservative, ossia quelle forze che dissipano energia in base al loro spazio e tempo di applicazione. La più nota è appunto la forza di attrito, costante in modulo nel tempo e nello spazio. Ma allora se il lavoro da lei compiuto dipende dallo spazio e dal tempo della sua applicazione, significa che dipende dal percorso, ossia dalla traiettoria del corpo durante il moto. Pertanto per poterne calcolare il lavoro dobbiamo conoscere la lunghezza di questo tragitto. Ma la lunghezza di questo tragitto è proprio data dall'integrale di linea. Ecco perché quando noi scriviamo il lavoro delle forze non conservative (come quella d'attrito) scriviamo:
[math]W_{F_{nc}}=\oint_{A}^{B} \vec_{F} \: d\vec{s}[/math]
Calcoliamo il lavoro lungo la traiettoria compiuta.
Prova a far girare su un piano con un corda una pallina o un corpo generico. Ovviamente c'è attrito fra il piano e la pallina. La forza centripeta che noi applichiamo al corpo per farlo ruotare è centrale pertanto fa lavoro nullo. Prova a far girare la pallina con un raggio mettiamo di 50 cm, e prova a valutarne la velocità finale. Dopodiché prova a far ruotare la stessa pallina allo stesso modo con la stessa velocità iniziale ma con un raggio di 20 cm. Ti accorgerai che la velocità di arrivo diminuisce in funzione del raggio, questo significa che la forza di attrito disturba il nostro moto in base al percorso. In questo caso il percorso è una circonferenza, e quindi la lunghezza sarà
[math]2\pi r[/math]
. Ma in una traiettoria non così bella come la circonferenza come possiamo trovare lo spazio percorso? Lo troviamo appunto sfruttando l'integrale di linea. Ecco spero di essere stato chiaro. Se vuoi l'aspetto matematico come dicevo prima chiedi nella sezione di matematica. ;)
Aggiunto 1 ore 50 minuti più tardi:
mmmm... non so se ho capito la tua domanda, ma direi che ti è sfuggito qualcosa.
L'integrale di linea lo usi su forze non conservative.
Se le forze che hai sono conservative allora il lavoro diventa:
[math]W_{tot}=\int_{A}^{B}\vec{F}_{risultante}\: d\vec{s}=\int_{A}^{B} \sum_i \vec{F_i} \: d\vec{s}= \\
=\int_{A}^{B} \vec{F_1} \: d\vec{s}+\int_{A}^{B} \vec{F_2} \: d\vec{s}+...+\int_{A}^{B} \vec{F_n} \: d\vec{s}=\\
=W_{F_1}+W_{F_2}+...+ W_{F_n}[/math]
=\int_{A}^{B} \vec{F_1} \: d\vec{s}+\int_{A}^{B} \vec{F_2} \: d\vec{s}+...+\int_{A}^{B} \vec{F_n} \: d\vec{s}=\\
=W_{F_1}+W_{F_2}+...+ W_{F_n}[/math]
Senza usare l'integrale di linea visto che, essendo conservative le forze, non dipendono dal percorso fatto.
Adesso non so se ho risposto alla tua domanda. Se non l'ho fatto dimmelo. :)
Aggiunto 30 minuti più tardi:
In questo caso abbiamo una forza conservativa e una non conservativa (l'attrito con l'aria).
Semplicemente troveremo che:
[math]-W_{F_{nc}}=E_{mecc_{in}}-E_{mecc_{fin}}[/math]
Risolvi sapendo la caduta di energia potenziale e conoscendo l'energia cinetica finale. ;)
Aggiunto 19 minuti più tardi:
Forse in questo caso dovremmo fare un diagramma delle forze per capirci bene e un disegno fatto bene. Comunque tieni conto che ci sono forze che non possiamo calcolare a priori ma solamente indirettamente. Come in questo caso. Inoltre dobbiamo avere un numero di dati minimi altrimenti è come se io ti chiedessi:
Calcolare la velocità dopo 3 metri di un corpo sapendo che parte da fermo.
Non credo t ne sia in grado.
Aggiunto 31 minuti più tardi:
Si e no. Nel senso che se il lavoro fatto dalla forza di attrito risulta maggiore di quello fatto dalla forza peso cosa succede? che la palla va in su?
Aggiunto 22 minuti più tardi:
Beh ma pensa solo che il lavoro è fatto dalla forza per lo spostamento. Siccome la palla cade se questa non compie una traiettoria verticale, ci può essere uno spostamento anche lungo x che fa aumentare in valore assoluto il lavoro dell'attrito. Anche se la cosa è abbastanza forzata. Comunque stiamo divagando in cose inutili. Secondo me dovresti fermarti prima dell'esempio e soprattutto dirmi cosa intendi con precisione con teorema delle forze vive.
Aggiunto 8 minuti più tardi:
ok. Siccome ognuno lo chiama a proprio modo non so mai cosa l'utente intenda. Comunque guarda che se hai problemi chiedi eh. La mia non era un'affermazione per chiudere la discussione, era solo un invito a non perdersi a campi (fra l'altro di difficile trattazione, come l'attrito viscoso). :)
Aggiunto 15 minuti più tardi:
Prego! Alla prossima. ;)
Campagna di sensibilizzazione:
Vota la miglior risposta. :)
ok grazie mille già mi è molto più chiaro. Se posso vorrei però farti solo un altra domanda. Supponendo di nn conoscere mai a priori la lunghezza della traiettoria, è giusto dire che tale metodo di calcolo del lavoro, tramite l integrale di linea,vale solo nel caso in cui stiamo analizzando il lavoro compiuto da una forza su di un corpo, ma tale forza non coincide con la risultante delle forze agenti sul corpo stesso, in quanto nel momento in cui analizziamo il lavoro compiuto dalla risultante, è sempre possibile calcolarne il valore tramite il teorema delle forze vive??
Aggiunto 1 ore 50 minuti più tardi:
ah ok perfetto, ora capisco anche meglio il perchè dell esempio dell attrito, quindi quando una forza è conservativa basta appicare il teorema dell energia cinetica. Però quello che intendevo è: prendiamo il caso in cui su un corpo agisca una forza conservativa, ma che questa nn sia l unica forza ad agire sul corpo e quindi non posso calcolare la risultante. Faccio un esempio anche se non so se sia giusto:
Supponiamo di lasciar cadere una palla. Questa seguirà un moto di caduta libera, nel quale è soggetta alla forza peso, che è una forza conservativa. Quindi teoricamente si potrebbe calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso conoscendo il punto di partenza e di arrivo al suolo della palla. Se però nel moto della palla consideriamo anche l attrito dell aria, allora la palla sarà soggetta anche ad una forza d attrito opposta dall aria. Supponendo quindi di non poter calcolare la risultante delle due forze agenti sulla palla, come calcoliamo in questo caso il lavoro compiuto dalla forza peso?
Non so se l esempio è giusto o abbia detto una marea di boiate...
Aggiunto 42 minuti più tardi:
ok quindi nn possiamo applicare il teorema delle forze vive sulla forza peso giusto?
inoltre pensando alla domanda che ti avevo chiesto mi era venuta in mente una risposta, anche se da quanto mi hai detto penso che a questo punto sia sbagliata: essendo valido per il calcolo dela lavoro di più forze su un corpo il principio di sovrapposizione degli effetti, nn si potrebbe nel caso del mio esempio, calcolare prima il lavoro della forza d attrito tramite l integrale di linea, poi quello della forza peso tramite il teorema delle forze vive e sommare i due valori ottenuti?
Aggiunto 43 minuti più tardi:
però questo non dovrebbe risultare, cioè la l unico modo per far si che accada una cosa del genere è che il fluido all interno del quale è immersa la palla che cade ( generalizzando l aria) dovrebbe avere un coefficiente d attrito su periore al prodotto della massa della palla ( o in generale di un corpo) per l accelerazione di gravità, o sbaglio ( non ho studiato l attrito nei fluidi quindi nn sono sicuro di quello che dico)??
in ogni caso quindi il principio di sovrapposizione degli effetti non sarebbe applicabile?
Aggiunto 10 minuti più tardi:
vabbe hai ragione sono andato oltre, la questione dell integrale di linea è chiara e ti ringrazio molto. Comunque pèer teorema delle forze vive intendo il teorema dell energia cinetica.
Aggiunto 13 minuti più tardi:
si lo so che non era un tuo invito a chiudere, anzi t ringrazio molto per la tua disponibilità, mi sei stato veramente di grande aiuto; però in effetti hai ragione meglio non perdersi in inutili divagazioni, che tra l altro riguardano cose che ai fini dell esame che dovrò sostenere il mese prossimo contano poco e niente, al massimo sono miei curiosità verso la materia che mi affascina molto. Tra l altro è quasi l una e a stare a quest ora a parlare di fisica mi sento un po pazzo :lol. Quindi va bene così. Grazie mille ancora!!!
Aggiunto 1 ore 50 minuti più tardi:
ah ok perfetto, ora capisco anche meglio il perchè dell esempio dell attrito, quindi quando una forza è conservativa basta appicare il teorema dell energia cinetica. Però quello che intendevo è: prendiamo il caso in cui su un corpo agisca una forza conservativa, ma che questa nn sia l unica forza ad agire sul corpo e quindi non posso calcolare la risultante. Faccio un esempio anche se non so se sia giusto:
Supponiamo di lasciar cadere una palla. Questa seguirà un moto di caduta libera, nel quale è soggetta alla forza peso, che è una forza conservativa. Quindi teoricamente si potrebbe calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso conoscendo il punto di partenza e di arrivo al suolo della palla. Se però nel moto della palla consideriamo anche l attrito dell aria, allora la palla sarà soggetta anche ad una forza d attrito opposta dall aria. Supponendo quindi di non poter calcolare la risultante delle due forze agenti sulla palla, come calcoliamo in questo caso il lavoro compiuto dalla forza peso?
Non so se l esempio è giusto o abbia detto una marea di boiate...
Aggiunto 42 minuti più tardi:
ok quindi nn possiamo applicare il teorema delle forze vive sulla forza peso giusto?
inoltre pensando alla domanda che ti avevo chiesto mi era venuta in mente una risposta, anche se da quanto mi hai detto penso che a questo punto sia sbagliata: essendo valido per il calcolo dela lavoro di più forze su un corpo il principio di sovrapposizione degli effetti, nn si potrebbe nel caso del mio esempio, calcolare prima il lavoro della forza d attrito tramite l integrale di linea, poi quello della forza peso tramite il teorema delle forze vive e sommare i due valori ottenuti?
Aggiunto 43 minuti più tardi:
però questo non dovrebbe risultare, cioè la l unico modo per far si che accada una cosa del genere è che il fluido all interno del quale è immersa la palla che cade ( generalizzando l aria) dovrebbe avere un coefficiente d attrito su periore al prodotto della massa della palla ( o in generale di un corpo) per l accelerazione di gravità, o sbaglio ( non ho studiato l attrito nei fluidi quindi nn sono sicuro di quello che dico)??
in ogni caso quindi il principio di sovrapposizione degli effetti non sarebbe applicabile?
Aggiunto 10 minuti più tardi:
vabbe hai ragione sono andato oltre, la questione dell integrale di linea è chiara e ti ringrazio molto. Comunque pèer teorema delle forze vive intendo il teorema dell energia cinetica.
Aggiunto 13 minuti più tardi:
si lo so che non era un tuo invito a chiudere, anzi t ringrazio molto per la tua disponibilità, mi sei stato veramente di grande aiuto; però in effetti hai ragione meglio non perdersi in inutili divagazioni, che tra l altro riguardano cose che ai fini dell esame che dovrò sostenere il mese prossimo contano poco e niente, al massimo sono miei curiosità verso la materia che mi affascina molto. Tra l altro è quasi l una e a stare a quest ora a parlare di fisica mi sento un po pazzo :lol. Quindi va bene così. Grazie mille ancora!!!
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