Fisica-Velocità istantanea.

[Anthrax606]

So per definizione che la velocità istantanea è il valore limite della velocità media quando l'intervallo di tempo tende a zero.
L'esercizio mostra un grafico in cui devo trovarmi la velocità media fra i due punti che risulta essere

[math]-5m/s[/math]

. Ora mi chiede di calcolare la velocità instantanea di un punto

[math]P[/math]

che nel grafico spazio tempo ha coordinate

[math](0,4s;-0,5m)[/math]

, come ottengo la velocità istantanea dalla formula:

[math]v_{i}=\lim_{\Delta t \to 0} v_{m}[/math]

?


Grazie in anticipo a chiunque si appresterà a rispondere. :D

Aggiunto 1 ora più tardi:

Scusatemi, ovviamente la distanza delle coordinate del punto

[math]P[/math]

è dall'origine sia per lo spazio sia per il tempo.

[Studente Anonimo]

1. Si definisce velocità media

[math]\bar{v}[/math]

di un corpo il rapporto fra lo spostamento

[math]\Delta s[/math]

del corpo e l'intervallo di tempo

[math]\Delta t[/math]

in cui è avvenuto:

[math]\bar{v} := \frac{\Delta s}{\Delta t}\\[/math]

.

2. Considerando due punti appartenenti al piano spazio-tempo rispettivamente
di coordinate

[math]A(t_a,\,s_a)[/math]

e

[math]B(t_b,\,s_b)[/math]

(con

[math]t_b > t_a[/math]

) la velocità media è
banalmente pari a

[math]\bar{v}_{AB} := \frac{\Delta s_{AB}}{\Delta t_{AB}} = \frac{s_b - s_a}{t_b - t_a}[/math]

, ossia è uguale alla pendenza
della retta su cui giace il segmento

[math]AB\\[/math]

.


3. Si definisce velocità istantanea

[math]v[/math]

il valore limite a cui tende il rapporto

[math]\frac{\Delta s}{\Delta t}[/math]

quando

[math]\Delta t[/math]

tende a zero:

[math]\begin{aligned} v := \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} \end{aligned}\\[/math]

.

4. Considerando un punto appartenente al piano spazio-tempo di coordinate

[math]P(t_p,\,s_p)[/math]

, per il calcolo della velocità istantanea in tale punto è sufficiente
considerare un istante immediatamente prima a

[math]\small t_p[/math]

( che indicheremo con

[math]\small t_p^-[/math]

)
e un istante immediatamente dopo a

[math]t_p[/math]

( che indicheremo con

[math]t_p^+[/math]

); a tali
ascisse (temporali) corrisponderanno rispettivamente delle ordinate (spaziali)

[math]s_p^-(t_p^-)[/math]

ed

[math]s_p^+(t_p^+)[/math]

. Ricavati tali valori dal grafico, basta applicare la defi-
nizione sopra riportata:

[math]\begin{aligned}v_P := \lim_{\Delta t_P \to 0} \frac{\Delta s_P}{\Delta t_P} = \frac{s_p^+(t_p^+) - s_p^-(t_p^-)}{t_p^+ - t_p^-}\end{aligned}[/math]

; da
notare che tale valore non è altro che la pendenza della retta tangente al grafi-
co spazio-tempo nel punto

[math]P\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)