Esercizio sul moto parabolico

[BoyScout]

Ciao ragazzi,
so che probabilmente è un esercizio banale, però ho delle lacune, soprattutto in matematica, e perciò mi risulta un po complesso risolverli.

Una pietra viene scagliata verso l'alto, dalla sommità di un edificio, con un angolo di 30° rispetto all'orizzontale e con una velocità di 20m/s.


A) Se l'altezza dell'edificio è 45 metri, per quanto tempo la pietra rimane "in volo"?

B) Qual è la velocità della pietra appena prima di colpire il suolo?

C) A che distanza cade la pietra?

Potreste spiegarmi tutti i passaggi? Soprattutto la risoluzione delle equazioni.
Io riesco a calcolare vxi e vyi che sono rispettivamente 17.3 m/s e 10 m/s

e poi come vado avanti?

Grazie mille! :thx

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

A) Dato che verticalmente il moto della pietra risulta uniformemente
accelerato e facendo riferimento al sistema di riferimento indicato nel-
la figura in allegato, la legge oraria dello spazio lungo la verticale ri-
sulta essere pari a

[math]y(t) = v_{0y}\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2[/math]

. Per calcolare il tempo di
volo, ossia il tempo che la pietra impiega a raggiungere il suolo, è suf-
ficiente imporre

[math]\small y(t_v) = - H[/math]

ossia

[math]\small - 45 = (20\,\sin(30°))\,t_v - \frac{1}{2}\,9.81\,t_v^2[/math]

.
Semplificando si ottiene

[math]4.905\,t_v^2 - 10\,t_v - 45 = 0[/math]

e applicando
la formula per i polinomi di secondo grado, si ha:

[math]t_{v\,1,2} = \frac{10\pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot (4.905)\cdot (-45)}}{2\cdot (4.905)}[/math]

, da cui segue

[math]\small t_{v,1} \approx - 2.18\,s[/math]

(non
accettabile) e

[math]\small t_{v,2} \approx 4.21\,s\\[/math]

(che è la soluzione desiderata).


B) Dato che orizzontalmente il moto della pietra risulta uniforme
e verticalmente uniformemente accelerato, facendo riferimento al
sistema di riferimento indicato nella figura in allegato, le rispettive
leggi orarie delle velocità risultano essere

[math]v_x(t) = v_{0x}[/math]

e

[math]v_y(t) = v_{0y} - g\,t[/math]

. Alla luce di tutto ciò, segue che:

[math]v_x(t_v) = 20\cdot\cos(30°) \approx 17.32\,\frac{m}{s}[/math]

,

[math]v_y(t_v) = 20\cdot \sin(30°)-9.81\cdot 4.21 \approx - 31.35\,\frac{m}{s}[/math]

e
quindi, per il teorema di Pitagora, l'intensità del vettore velocità
un istante prima che la pietra colpisca il suolo risulta pari a:

[math]v_f \approx \sqrt{(17.32)^2 + (-31.35)^2} \approx 35.82\,\frac{m}{s}\\[/math]

.


C) Dato che orizzontalmente il moto risulta uniforme, facendo sempre
riferimento al sistema di riferimento indicato nella figura in allegato, la legge
oraria spaziale in tale direzione risulta essere pari a

[math]x(t) = v_{0x}\,t[/math]

. Quindi,
molto semplicemente,

[math]x_f = x(t_v) \approx (20\cdot \cos(30°))\cdot 4.21 \approx 72.92\,m\\[/math]

.


Tutto qui. ;)

[BoyScout]

Grazie infinite, ora è tutto più chiaro!

Vorrei chiedere solo un'ultima cosa: come faccio a ricavarmi il tempo nel seguente esercizio?
Sicuramente anche qui il mio problema è che non sono capace di risolvere una qualche equazione.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

In quest'altro caso, tenendo conto che, al solito, in orizzontale il moto è uniforme
e in verticale è uniformemente accelerato e riferendoci al sistema di assi cartesiani
indicati in figura, le rispettive leggi orarie risultano essere:

[math]x(t) = v_{0x}\,t[/math]

e

[math]y(t) = - \frac{1}{2}\,g\,t^2[/math]

(bada bene che si ha

[math]v_{0y} = 0\\[/math]

!!).

Dunque, indicando con

[math]t_c[/math]

il tempo di caduta e imponendo

[math]\begin{cases} x(t_c) = 1.40 \\ y(t_c) = - 0.86 \end{cases}[/math]

,
si ha

[math]\begin{cases} 1.40 = v_{0x}\,t_c \\ - 0.86 = - \frac{1}{2}\,9.81\,t_c^2 \end{cases}[/math]

che risolto porge

[math]\begin{cases} t_c \approx 0.419\,s \\ v_{0x} = 3.343\,\frac{m}{s} \end{cases}\\[/math]

.


Ciò fatto, dato che orizzontalmente il moto è uniforme, la velocità in tale
direzione risulterà la stessa anche un istante prima che il boccale impatti
col suolo:

[math]v_x(t_c) = v_{0x} \approx 3.343\,\frac{m}{s}[/math]

, mentre verticalmente il moto
essendo uniformemente accelerato risulta che

[math]\small y(t_c) = - g\,t_c \approx -4.110\,\frac{m}{s}\\[/math]

.

Ebbene, detto

[math]\theta[/math]

l'angolo che il vettore velocità forma con l'orizzontale
(valutato positivo procedendo in senso antiorario a partire da detto asse)
un istante prima dell'impatto col suolo, la tangente di tale angolo è pari a

[math]\tan\theta = \frac{v_y(t_c)}{v_x(t_c)}[/math]

da cui

[math]\theta \approx \arctan\left(\frac{-4.110}{3.343}\right) \approx - 50.88°[/math]

(essendo
negativo significa che è valutato in senso orario, sempre partendo dall'oriz-
zontale).

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)