Esercizio sul moto armonico

[mr.bell]

Salve, di recente ho iniziato lo studio della Cinematica, ora mi trovo di fronte ad un esercizio del moto armonico che non so risolvere. come risolveresti questo esercizio?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Le equazioni che governano il moto armonico semplice sono:

[math]\begin{cases} s(t) = A\,\cos(\omega\,t + \varphi) \\ v(t) = - A\,\omega\,\sin(\omega\,t + \varphi) \\ a(t) = - A\,\omega^2\,\cos(\omega\,t + \varphi) \end{cases}\\[/math]

dove

[math]T = \frac{2\pi}{\omega}[/math]

è il periodo di oscillazione e

[math]A,\;\varphi[/math]

sono rispettivamente
l'ampiezza di oscillazione e la costante di fase, calcolabili conoscendo la po-
sizione

[math]s[/math]

e la velocità

[math]v[/math]

al tempo

[math]t=0\\[/math]

.

Nel nostro caso particolare, sappiamo che

[math]\small T = 4\,s[/math]

, quindi

[math]\small \omega = \frac{2\,\pi}{4}\,\frac{1}{s} = \frac{\pi}{2}\,\text{Hz}[/math]

,
sappiamo che

[math]A = 20\,\text{cm}[/math]

e infine che

[math]s(0) = 10\,\text{cm} \; \; \Rightarrow \; \; \varphi = \frac{\pi}{3}[/math]

.
Noti tutti i parametri, l'esercizio è bello che risolto. ;)

[mr.bell]

Ciao TeM, grazie per rispondere. Ho sostituito i parametri nella formula della posizione del punto materiale che hai indicato, ma non ottengo il risultato giusto (il risultato del libro è diverso). Ho fatto questo per ottenere la posizione al t = 7:

[math]
s(t) = 20 \cdot cos((\frac{\pi}{2} \cdot 7)+\frac{\pi}{3})
[/math]

e mi dà 19.55 cm circa, mentre che il libro dice che la risposta è -0.17 cm.. ho sbagliato qualche calcolo?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Il fatto è questo. Come sopra scritto, per individuare senza alcuna ambiguità i
parametri

[math]A[/math]

e

[math]\varphi[/math]

occorre conoscere lo spazio e la velocità al tempo

[math]t = 0\\[/math]

.

In questo caso, invece,

[math]A[/math]

ci viene calato dall'alto, mentre conosciamo sola-
mente lo spazio percorso a tale istante iniziale. Quindi, imponendo solamente
tale condizione e ricordando che

[math]\varphi \in [0,\,2\pi)\\[/math]

, otteniamo:

[math]10 = 20\,\cos\left(\frac{\pi}{2}\cdot 0 + \varphi\right) \; \; \Leftrightarrow \; \; \varphi = \frac{\pi}{3}\, \vee \, \varphi = \frac{5\,\pi}{3} \; .\\[/math]

Come si nota, vi è ambiguità: quale fase scegliere? Nelle condizioni in cui siamo
una fase vale l'altra, non abbiamo alcun altra informazione per discriminare tra le
due possibilità. Per questo, speravo nel "buon senso" degli autori nel "scegliere"
la fase appartenente al primo quadrante, ma a quanto pare, oltre ad aver scritto in
modo ambiguo il problema hanno infierito ulteriormente scegliendo la fase più
improba, mettiamola così.

Quindi, ecco, facendo per bene i conti (infatti i due casi differiscono solo per un
segno meno!!) si ottiene quanto richiesto, ossia

[math]\small s(7\,s) \approx - 17.32\,\text{cm} \approx - 0.1732\,\text{m}[/math]

. ;)


P.S.: setta la calcolatrice su RAD (probabilmente l'hai utilizzata in DEG).

[mr.bell]

Grazie TeM, sei stato molto chiaro!