Esercizio sul centro di massa.

[miik91]

Ciao a tutti. Potreste spiegarmi come devo fare a risolvere questo esercizio sul centro di massa??

Dimostrare che il centro di massa di una sbarra di massa M e lunghezza L
coincide con il punto medio della sbarra se essa possiede una densità lineare l
uniforme. Nel caso in cui l non sia uniforme ma valga l = 50 g/m + 20x g/m^2
( x distanza da un estremo della sbarra) e la sbarra sia lunga L = 30 cm calcolare:
a. La massa totale M della sbarra;
b. La distanza del centro di massa da uno degli estremi. Grazie a tutti in anticipo.

[the.track]

Cos'è l?

[miik91]

ah scusa!! è che ho fatto copia e incolla e non è uscito, sarebbe lambda, ovvero la densità.

[the.track]

Dunque vediamo cosa si può fare.

suddividiamo la sbarretta in tante piccole sezione di spessore infinitesimo

[math]dx[/math]

. Tali sezioni avranno massa

[math]dm[/math]

e densità

[math]d\lambda[/math]

.

Quindi avremo che:

[math]dm=\lambda \cdot dx[/math]

Adesso noi sappiamo che la densità

[math]\lambda[/math]

è data da:

[math]\lambda=50 \: \frac{g}{m} \:+ 20\cdot x \: \frac{g}{m^2}[/math]

Sostituendo troviamo che:

[math]dm=50+20x \cdot dx[/math]

Integrando troviamo la massa m:

[math]\int \:dm=\int_{0}^{L}50+20x \cdot dx[/math]

Svolgendo l'integrale trovi m che se non erro dovrebbe essere

[math]50L+20L^2=16,8\: g[/math]

.

Aggiunto 13 minuti più tardi:

Invece per il centro di massa definito come:

[math]\frac{\sum_{i=1}^n m_i\vec{r_i}}{\sum_{i=1}^n m_1}[/math]

Avremo che:

[math]r_C= \frac{\int r\: dm}{\int \: dm}[/math]

Non ho scritto in forma vettoriale in quanto abbiamo un unico asse quindi il vettore raggio del centro di massa giacerà su questo asse, prendendo come sistema di riferimento l'asse x avente origine ad un estremo dell'asta.

Riscrivendo meglio la relazione scritta sopra:

[math]r_C= \frac{\int r \lambda \: dx}{m}[/math]

Quindi rifacendoci sempre alla definizione di

[math]\lambda[/math]

avremo:

[math]r_C= \frac{\int_0 ^L r 50+20x \: dx}{m}[/math]

Risolvi l'integrale e sei a posto. Se hai dubbi chiedi. ;)