Esercizio di Fisica 1 - Sistema isolato, conserv. energia

[BleedingShadow]

Buongiorno e Buona Domenica a tutti ^_^

Vi mostro il problema e come ho provato a svolgerlo.

Testo:

Due masse sono collegate da una fune, di massa trascurabile, che scorre su una carrucola, anch'essa di massa trascurabile e priva di attrito. La massa di

[math]5.00 kg[/math]

viene lasciata cadere a partire dalla quiete. Usando la conservazione dell'energia si determini:

a) la velocità della massa di

[math]3.00 kg[/math]

nell'istante in cui la massa di

[math]5.00 kg[/math]

tocca il suolo;

b) la massima altezza a cui salirà la massa di

[math]3.00 kg.[/math]

(Risultato: (a)

[math]4,43\frac{m}{s}[/math]

; (b)

[math]5.00 kg[/math]

)

Il mio svolgimento:

Essendo stato rilasciato dalla quiete la velocità iniziale della massa di

[math]5.00 kg[/math]

sarà uguale a 0. E sarà 0 anche la velocità finale della stessa poichè quando toccherà il suolo, il corpo tornerà in quiete. Quindi so già che l'energia cinetica dell'intero moto sarà nulla.
Sarà anche nulla la velocità iniziale del blocco di massa 3.00 kg.

Ciò che varia è l'energia potenziale gravitazione data dalla diffenza di quota cui sono soggetti i corpi.

I dati che ho sono quindi:

[math]M = 5.00 kg\\m = 3.00 kg\\h_{f} = 4.00 m\\h_{0} = 0 m\\\Delta K_{M} = 0 J[/math]

quindi:

[math]\Delta K_{m} + \Delta U_{M} + \Delta U_{m} = 0[/math]

da cui ottengo:

[math]\frac{1}{2}mv^{2}_{f_{m}} - Mgh_{0} + mgh_{f} = 0[/math]

[math]v_{f_{m}} = \sqrt{\frac{(Mgh_{0} - mgh_{f})2}{m}}[/math]

Però viene sbagliato... Spero in un vostro aiuto così capisco anche come svolgere un esercizio in cui due corpi sono legati tra loro :)

Grazie mille!

[Ali Q]

Ciao, BleedingShadow! Ti aiuto con il tuo problema...
C'è un erroretto di fondo nella tua analisi, che è il seguente: l'energia cinetica del corpo M non è nulla, perchè non è nulla la sua velocità finale. Infatti è vero che il corpo si arresta, ma non perchè si annulla la sua velocità, ma perchè viene trattenuto dal pavimento! Prova ne sia che il pavimento (lo si può dedurre dalla nostra esperienza di tutti i giorni) riceve un urto. La velocità con cui M tocca il pavimento è la stessa velocità che viene acquisita dal corpo m.
Inoltre l'energia potenziale del corpo, al momento di iniziare il suo moto non è Mg(ho) ma Mg(hf). Ti spiego bene...

Il principio di conservazione dell'energia meccanica ci dice che:
Ki + Ui = Kf + Uf
Dove con i simboli K ed U si sono indicate le energie cinetiche e potenziali del sistema.
Entrambe le energie si riferiscono ad entrambi i corpi (M + m).

Poichè il corpo inizia il suo moto da uno stato di quiete:
Ui = Kf + Uf

Ui viene fornita solo da M, che è a quota 4 m. L'altro corpo, avendo quota nulla, non ha energia potenziale.
Uf viene fornita solo da m, che è a quota 4m. L'altro corpo, avendo quota nulla, non ha energia potenziale.
Ui = Mgh = 5 x 9,8 x 4 = 196
Uf = mgh = 3 x 9,8 x 4 = 117,6

Kf = 1/2 (m + M) Vf^2 = 1/2 (5+3) Vf^2 = 4 Vf^2

In conclusione:
196 = 4Vf^2 +117,6
Vf = rdaice di [(196-117,6)/4] = radice di (19,6) = 4,427 m/s

terminato questo moto, il corpo m continua a salire per inerzia. Il suo moto terminerà quando la sua energai cinetica sarà diventata tutta energia potenziale. Applichiamo anche per questo corpo (stavolta da solo) il principio di conservazione dell'energia:
Ui + Ki = Uf + Kf
Ki = Uf
1/2 mv^2 = mgX
1/2 x 3 x 19,6 = 3 x 9,8 x X
X = (1/2 x 3 x 19,6)/(3 x 9,8 ) = 1 m

Hmax = hf + X 0 4 + 1 = 5 m

Fine. Ciao!!!