Esercizio: calcolare andamento campo magnetico di un conduttore cilindrico cavo

[ale88]

Ciao a tutti! ho grossi dubbi su questo esercizio...ho provato a risolverlo ma con scarsi risultati, qualcuno riuscirebbe a darmi una dritta?

Testo esercizio : UN conduttore cilindrico cavo di raggio interno R1 e raggio esterno R2, è percorso da una corrente I distribuita uniformemente sulla sua sezione. Calcolare l'andamento del campo magnetico per 0 < r <

[math]+ \infty [/math]

cioè io ho provato a risolverlo così...
1) per 0 < r < R1

trovo la mia I concatenata

Iconc = I0 *

[math] \frac{\pi r^2 }{\pi R1^2} [/math]

poi

[math] \oint B dl = \mu 0 * Iconc [/math]

e da qui ricavo il mio B(r)

2) r minore di R1

[math] \oint\bar{B} d\bar{l} = \oint B dl = 0 [/math]

3) r compreso tra R1 e R2

trovo la mia I concatenata

Iconc = I0 *

[math] \frac{\pi r^2 - \pi R1^2}{\pi R2^2 - \pi R1^2} [/math]

poi

[math] \oint B dl = \mu 0 * Iconc [/math]

e da qui ricavo il mio B(r)


4) r> R2 ? ma poi per l'infinito?

[Studente Anonimo]

Bada bene che, per la simmetria cilindrica, le linee di forza del campo magnetico
sono delle circonferenze concentriche al conduttore, e

[math]\vec{B}[/math]

è tangente ad esse.
Quindi applichiamo il Teorema di Ampère su una circonferenza di raggio

[math]r\\[/math]

:


1) per

[math]r < R_1[/math]

(nel cavo del conduttore):

[math]\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}=\oint B\,dl = 0[/math]

,

[math]\Rightarrow \; B = 0\\[/math]

perché la corrente concatenata è zero;


2) per

[math]R_1 < r < R_2[/math]

(all'interno del conduttore): la corrente concatenata
si ricava moltiplicando la densità di corrente (rapporto fra la corrente

[math]I_0[/math]

e la
sezione del conduttore) per la superficie del conduttore compresa nel cerchio
di raggio

[math]r[/math]

, cioè

[math]I_{conc}=I_0 \frac{\pi r^2-\pi R_1^2}{\pi R_2^2-\pi R_1^2}=I_0 \frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}[/math]

; quindi si ha

[math]\oint B\,dl =\mu_0\,I_{conc} \; \Rightarrow \; 2\pi r B(r)=\mu_0 I_0\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}[/math]

e in definitiva segue

[math]B(r)=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\frac{r^2-R_1^2}{R_2^2-R_1^2}\\[/math]

;


3. per

[math]r > R_2[/math]

(all'esterno al conduttore): la corrente concatenata è

[math]I_0[/math]

,
quindi:

[math]\oint B\,dl =\mu_0\,I_{conc} \; \Rightarrow \; 2\pi r B(r)=\mu_0 I_0 \; \Rightarrow \; B(r)=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\\[/math]

.


Tutto qui :)

[ale88]

Ah ok! a questo punto grazie mille ancora una volta per la risposta! grazie dell'aiuto! :) :)