Es. di meccanica, dinamica.

[crttghj]

Buona sera, chi mi puo aiutare a risolvere qualche problema di meccanica

1. Una massa di 4kg cade da una altezza di 8m. Calcolare l'energia e la velocita di un impatto col suolo.
2. Un cilindro di massa 0,5 kg e diametro 12cm posto su un piano inclinato di 12 gradi viete lasciato libero. Calcolare l'accelerazione.
:)

[anna.supermath]

Ciao; ti scrivo la soluzione degli esercizi richiesti.
Gentilmente ti chiederei per le prossime richieste di pubblicarne uno per volta.
Esercizio 1

[math]
m = 4 Kg
[/math]

[math]
H = 8 m
[/math]

[math]
E = ?
[/math]

[math]
v_f = ?
[/math]

Deduco si possa trascurare la resistenza dell’aria e tutti gli altri attriti, in modo tale da poter applicare la conservazione dell’energia meccanica fra il punto di partenza e quello finale (impatto col suolo):

[math]
m g H = (1/2) m (v_f)^2
[/math]

[math]
v_f = \sqrt[2]{2 g H}
[/math]

[math]
v_f = \sqrt[2]{2 (9,81) (8)} ms^-1
[/math]

[math]
v_f = 12,53 m/s
[/math]

[math]
E = (1/2) m (v_f)^2
[/math]

[math]
E = (1/2) (4) (156,96) J
[/math]

[math]
E = 313,92 J
[/math]

Esercizio 2

[math]
m = 0,5 Kg
[/math]

[math]
D = 12*10^-2 m
[/math]

[math]
alfa = 12 gradi
[/math]

[math]
v_0 = 0
[/math]

Trattandosi di un cilindro su di un piano inclinato deduco si tratti di un caso di rotolamento puro (senza strisciamento).
Quindi le forze in gioco sono il peso, P, che tende a muoverlo verso il basso e la reazione del piano che avrà anche una componente verso l’alto,

[math]
S_t
[/math]

, che impedisce al cilindro di strisciare.
Il peso viene scomposto lungo a direzione parallela e perpendicolare al piano inclinato:

[math]
P_p = m g senα
[/math]

[math]
P_per = m g cosα.
[/math]

Per la prima equazione cardinale della dinamica si ha che:

[math]
F_{tot} = P_p - S_t
[/math]

dove

[math]
F_{tot}
[/math]

è la forza risultante agente sul cilindro
quindi si ha che

[math]
m a = m g senalfa; - S_t
[/math]

Per la seconda equazione cardinale della dinamica si ha che:

[math]
M_G = (I_G) O;
[/math]

dove

[math]
M_G
[/math]

é; il momento risultante delle forze che calcoliamo rispetto a G, baricentro del cilindro

[math]
I_G
[/math]

è il momento d’inerzia baricentrico

[math]
Ω
[/math]

è l’accelerazione angolare
Si ha che:

[math]
M_G = (r) (S_t) = (I_G) Ω
[/math]

[math]
(r) (S_t) = (I_G) Ω
[/math]

dove r è il raggio del cilindro.
Sapendo che

[math]
a = r O;
[/math]

si ottiene

[math]
O = \frac{a}{r}
[/math]

dove a è l’accelerazione del baricentro G.
Si ricorda inoltre che per un cilindro omogeneo il momento d’inerzia baricentrico è dato da:

[math]
I_G = (1/2)(m)(r^2)
[/math]

Sostituendo quanto trovato nella prima equazione cardinale della dinamica si ottiene:

[math]
m a = m g senalfa - S_t
[/math]

[math]
S_t = \frac{(I_G)(O)}{r}

[/math]

[math]
m a = m g sen&alfa; - \frac{(I_G)}(O)}{r}
[/math]

[math]
m a = m g senalfa; - \frac{(1/2)(m)(r^2)(a)}{r^2}
[/math]

[math]
a = g senalfa; - \frac{a}{2}
[/math]

[math]
(3/2) a = g (senalfa;)
[/math]

[math]
a = \frac{2 g (senalfa;)}{3}
[/math]

[math]
a = \frac{2 (9,81) (sen12)}{3} ms^-2
[/math]

[math]
a = 1,3957 ms^-2
[/math]

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