Energia immagazzinata in un condensatore sferico

[Miriam34]

Due sfere metalliche cave sono concentriche l'una all'altra. La sfera interna ha raggio 0,1500 m e potenziale 85,0 V. IL raggio della sfera esterna è 0,1520 m e il suo potenziale è 82,0V. Se la regione fra le due sfere è riempita di teflon (cost. dielettrica 2,1) qual è l'energia contenuta in quella regione di spazio?

[Studente Anonimo]

Un condensatore sferico di raggio esterno

[math]r_e[/math]

e raggio interno

[math]r_i[/math]

presenta
una capacità pari a

[math]C_0 = 4\pi\epsilon_0\frac{r_e\,r_i}{r_e - r_i}[/math]

. Riempendo l'intercapedine con del
teflon di costante dielettrica

[math]\epsilon_r[/math]

la propria capacità diventa

[math]C = \epsilon_r\,C_0[/math]

.
Detta

[math]\Delta V[/math]

la differenza di potenziale tra le due sfere concentriche, l'energia
elettrostatica immagazzinata nell'intercapedine è pari ad

[math]U = \frac{1}{2}C\,(\Delta V)^2\\[/math]

.

Claro? :)

[Miriam34]

Mi è tutto chiarissimo vorrei solo sapere la prima formula della capacità che coinvolge anche i raggi da dove viene fuori. :)

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Però non mi viene :( perché dovrebbe venire 1,2 *10 elevato a meno otto J.

[Studente Anonimo]

Dato un condensatore sferico costituito da due sfere di raggi

[math]r_i[/math]

,

[math]r_e[/math]

e
carica

[math]q[/math]

sulle armature, considerando una superficie sferica di raggio

[math]r_i < r < r_e[/math]

concentrica con le armature e applicando il teorema di
Gauss, si ha

[math]\small q = \epsilon\,E\,A = \epsilon\,E\,4\,\pi\,r^2[/math]

da cui segue che

[math]\small E(r) = \frac{q}{4\,\pi\,\epsilon\,r^2}\\[/math]

.

Applicando la definizione di d.d.p., si ha:

[math]\Delta V := \int_{r_i}^{r_e}E(r)\,dr = \frac{q}{4\,\pi\,\epsilon}\frac{r_e - r_i}{r_e\,\,r_i}\\[/math]

.

Infine, applicando la definizione di capacità, si ha:

[math]C := \frac{q}{\Delta V} = 4\,\pi\,\epsilon\,\frac{r_e\,\,r_i}{r_e - r_i}[/math]

, dove in questo caso:

[math]\epsilon = \epsilon_0\,\epsilon_r[/math]

. Dunque:

[math]U = \frac{1}{2}\,C\,(\Delta V)^2\\[/math]

.

In base ai dati proposti, il risultato corretto è

[math]U \approx 1.198\cdot 10^{-8} J[/math]

. :)