Dubbio su meccanica dei fluidi
Ciao, avrei un dubbio su una nozione di meccanica dei fluidi:
Se noi abbiamo un recipiente contenente liquido, a pressione
Se noi abbiamo un recipiente contenente liquido, a pressione
[math] P_{0}[/math]
in equilibrio con l'ambiente esterno e applichiamo un'accelerazione [math] a [/math]
diretta orizzontalmente e parallela al piano, il liquido all'interno del recipiente risente di un'accelerazione [math] -a [/math]
tale che ( a detta di tutte le referenze online che ho trovato) la sua superficie viene inclinata di un angolo [math] \alpha [/math]
rispetto al piano orizzontale tale che [math] tg \alpha = \frac{a}{g} [/math]
, ovvero che [math] g sin \alpha = a cos \alpha [/math]
, ma se traccio un semplice disegno (vedi immagine allegata sotto) mi accorgo subito che la relazione [math] tg \alpha = \frac{a}{g} [/math]
è valida si per l'angolo compreso tra la superficie del liquido e la parete verticale del recipiente, ma non per l'angolo compreso tra superficie e piano, che in base al disegno risulta essere [math] tg \alpha = \frac{g}{a} [/math]
. Mi ripeto, più di una volta ho trovato questa formula e afferma sempre che se [math] \alpha [/math]
è l'angolo compreso tra la superficie del liquido e l'orizzontale in seguito ad un'accelerazione orizzontale applicata al recipiente, la relazione [math] tg \alpha = \frac{a}{g} [/math]
è quella che le lega, ma io non riesco proprio a capirla!! l'angolo [math] \alpha [/math]
non dovrebbe essere quello tra il liquido e la verticale?
Risposte
Sbagli a fare il disegno dei vettori.
Immagina che il recipiente non sia accelerato orizzontalmente, cioe` a=0. Ovviamente la superficie del liquido e` orizzontale, cioe` alpha=0.
Quindi la formula
Nel triangolo non puoi identificare i cateti con le accelerazioni: se
Quindi i cateti non rappresentano le accelerazioni g e a.
Cos'e` che non ti convince delle dimostrazioni che trovi sul libro o online della formula
Secondo me la dimostrazione piu` semplice si fa con l'energia potenziale:
in direzione verticale c'e` la forza gravitazionale e l'energia potenziale e`
in direzione orizzontale c'e` la forza apparente dovuta all'accelerazione del recipiente, e ad essa puoi associare un'energia potenziale
La superficie libera del liquido e` una superficie equipotenziale quindi:
Spero che questa spiegazione ti sia utile e non ti abbia confuso ancora di piu` le idee.
Immagina che il recipiente non sia accelerato orizzontalmente, cioe` a=0. Ovviamente la superficie del liquido e` orizzontale, cioe` alpha=0.
Quindi la formula
[math]\tan \alpha=\frac{a}{g}[/math]
e` giusta, l'altra no.Nel triangolo non puoi identificare i cateti con le accelerazioni: se
[math]a[/math]
aumenta allora l'inclinazione della superficie deve aumentare, quindi il cateto orizzontale deve accorciarsi (in rapporto con quello verticale).Quindi i cateti non rappresentano le accelerazioni g e a.
Cos'e` che non ti convince delle dimostrazioni che trovi sul libro o online della formula
[math]\tan \alpha=\frac{a}{g}[/math]
?Secondo me la dimostrazione piu` semplice si fa con l'energia potenziale:
in direzione verticale c'e` la forza gravitazionale e l'energia potenziale e`
[math]V_g=mgz[/math]
in direzione orizzontale c'e` la forza apparente dovuta all'accelerazione del recipiente, e ad essa puoi associare un'energia potenziale
[math]V_a=max[/math]
La superficie libera del liquido e` una superficie equipotenziale quindi:
[math]mgz+max=cost.[/math]
[math]gz+ax=cost.[/math]
[math]z=-\frac{a}{g}x=-(\tan\alpha) x[/math]
Spero che questa spiegazione ti sia utile e non ti abbia confuso ancora di piu` le idee.
Quindi in sostanza l'angolo
Però ci sono alcune cose che non mi sono chiare riguardo la dimostrazione che hai citato:
Mettiamo di applicare un'accelerazione al recipiente verso destra, il liquido risente dell'accelerazione apparente e la sua superficie si inclina, raggiungendo il livello
[math] \alpha [/math]
che ho disegnato non è altro che quello che la superficie del liquido forma con la verticale, sono invertiti rispetto al disegno come sospettavo. Però ci sono alcune cose che non mi sono chiare riguardo la dimostrazione che hai citato:
Mettiamo di applicare un'accelerazione al recipiente verso destra, il liquido risente dell'accelerazione apparente e la sua superficie si inclina, raggiungendo il livello
[math] z_{0} + dz [/math]
nella parte sinistra e il livello [math] z_{0} - dz [/math]
in quella destra; hai detto che [math] mgz [/math]
è l'energia potenziale del liquido relativa a [math] g [/math]
ed [math] max [/math]
quella relativa all'accelerazione apparente, ma le coordinate [math] z [/math]
e [math] x [/math]
a quali distanze si riferiscono ?
Nel mio messaggio precedente non mi sono preoccupata di precisare il sistema di coordinate. Provo ora a spiegarmi meglio.
Definiamo un sistema di assi cartesiani nel modo standard: asse x che punta verso destra, asse y verso l'alto.
La forza di gravita' agisce verso il basso, quindi l'accelerazione di gravita' ha componente -g in direzione y.
La forza e'
L'energia potenziale e' tale che
quindi
L'accelerazione apparente risentita dal liquido nel recipiente agisce verso sinistra e quindi ha componente x: -a.
La forza apparente e' -ma e l'energia potenxiale e'
Questo dovrebbe, spero, chiarire la qestione delle direzioni.
Per quanto riguarda l'origine delle coordinate, e quindi le distanze x e z, vale il discorso generale: l'energia potenziale e' sempre definita a meno di una costante additiva arbitraria, quindi l'origine puoi sceglierla dove vuoi tu (per esempio puoi metterla in un angolo del recipiente), tanto quel ce conta nei calcoli sono solo le differenze di energia potenziale.
Nel caso nel liquido nel recipiente accelerato, la superficie libera e' equipotenziale, quindi gy+ax=costante. Il valore numerico di questa costante dipende dall'origine che hai sccelto tu, puo' essere qualunque cosa! L'importante e' che tu scegli un'origine, poi vai avanti nei calcoli in modo coerente.
Spero che ora sia piu' chiaro.
PS: se invece di un recipiente accelerato in una direzione fissa, hai un recipiente in rotazione, il ragionamento e' lo stesso: associ alla forza centrifuga un'energia potenziale (che sara' una forma quadratica) e quindi imponi che la superficie libra sia equipotenziale. Ti verra' cosi' un paraboloide di rotazione. Ovviamente in questo caso "devi" (altrimenti te ne penti!) scegliere l'origine sull'asse di rotazione, ad altezza arbitraria.
Definiamo un sistema di assi cartesiani nel modo standard: asse x che punta verso destra, asse y verso l'alto.
La forza di gravita' agisce verso il basso, quindi l'accelerazione di gravita' ha componente -g in direzione y.
La forza e'
[math]F_g = -mg[/math]
.L'energia potenziale e' tale che
[math]F_g = -dV_g/dy[/math]
quindi
[math]V_g=mgy[/math]
L'accelerazione apparente risentita dal liquido nel recipiente agisce verso sinistra e quindi ha componente x: -a.
La forza apparente e' -ma e l'energia potenxiale e'
[math]V_a=max[/math]
, in modo che [math]F_a = -dV_a/dx[/math]
Questo dovrebbe, spero, chiarire la qestione delle direzioni.
Per quanto riguarda l'origine delle coordinate, e quindi le distanze x e z, vale il discorso generale: l'energia potenziale e' sempre definita a meno di una costante additiva arbitraria, quindi l'origine puoi sceglierla dove vuoi tu (per esempio puoi metterla in un angolo del recipiente), tanto quel ce conta nei calcoli sono solo le differenze di energia potenziale.
Nel caso nel liquido nel recipiente accelerato, la superficie libera e' equipotenziale, quindi gy+ax=costante. Il valore numerico di questa costante dipende dall'origine che hai sccelto tu, puo' essere qualunque cosa! L'importante e' che tu scegli un'origine, poi vai avanti nei calcoli in modo coerente.
Spero che ora sia piu' chiaro.
PS: se invece di un recipiente accelerato in una direzione fissa, hai un recipiente in rotazione, il ragionamento e' lo stesso: associ alla forza centrifuga un'energia potenziale (che sara' una forma quadratica) e quindi imponi che la superficie libra sia equipotenziale. Ti verra' cosi' un paraboloide di rotazione. Ovviamente in questo caso "devi" (altrimenti te ne penti!) scegliere l'origine sull'asse di rotazione, ad altezza arbitraria.
Ok ho capito, mi rendo conto che se spostiamo il liquido in quiete di un recipiente tutto da una parte, facendo formare alla sua superficie un certo angolo con l'orizzontale, è chiaro che esso in assenza di forze persiste a ritornare nel suo stato di quiete; riflettendoci adesso credo che il concetto di energia potenziale
per cui, dato che
Adesso si è tutto più chiaro ti ringrazio! gentilissimo!
[math] max [/math]
si risolva in questo...per cui, dato che
[math] z = isin \alpha [/math]
e che [math] a = icos \alpha [/math]
, considerando [math] \alpha [/math]
come l'angolo formato da [math] i [/math]
con l'orizzontale, si ottiene la relazione desiderata.Adesso si è tutto più chiaro ti ringrazio! gentilissimo!
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