Dinamica ed energia

[Myth]

Buongiorno ragazzi, mi ritrovo a dover risolvere due esercizi non particolarmente facili, mi potete dare una mano per favore?


1)Un aereo avente una massa di 800 kg quando si trova ad una quota di 5000 m inizia una picchiata in direzione verticale partendo praticamente da fermo. Durante la picchiata l'accelerazione dell'aereo si può ritenere costante e pari a 25 m/s^2.
-Quale relazione lega l'accelerazione alla quota z a cui l'aereo si trova al tempo t?
-Quanto tempo impiega l'areo a scendere dalla quota di 2000 m?
-Quanto vale la forza applicata dalle eliche all'aereo?
-Se giunto alla quota di 2000 m l'aereo sgancia (lascia cadere) una bomba, quanto tempo impiega questa a raggiungere il suolo?
In tutto il problema si trascuri l'attrito con l'aria.


2)Un dirigente di una compagnia aerea decide di economizzare riducendo la quantità di carburante necessaria per i voli a lunga distanza. A tale scopo ordina agli uomini di terra di rimuovere la vernice dalla superficie più esterna di ogni aeroplano. La vernice rimossa da ogni singolo aeroplano ha una massa approssimativa di 100 kg.
-Se l'aeroplano viaggia ad una quota di 12000 m, quanta energia si potrà risparmiare non dovendo più sollevare la vernice a tale quota?
-Quanta energia si potrà risparmiare non dovendo più portare quella quantità di vernice da ferma ad una velocità di crociera di 550 km/h?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

1. Trattandosi di un moto rettilineo uniformemente accelerato, con velocità
iniziale nulla, la legge oraria risulta banalmente essere

[math]\small z(t) = z_i - \frac{1}{2}\,a\,t^2[/math]

.
Il tempo

[math]t^*[/math]

per scendere a quota

[math]z_f[/math]

è facilmente calcolabile imponendo

[math]z(t^*) = z_f[/math]

. Applicando la seconda legge di Newton all'aereo di massa

[math]m[/math]

e accelerazione

[math]a[/math]

, si ha

[math]\small m\,g + F_e = m\,a[/math]

, da cui

[math]\small F_e = m\,(a - g)[/math]

.
Dopo un tempo

[math]t^*[/math]

, la velocità acquisita dall'aereo (e quindi anche dalla
bomba) è pari a

[math]v^* = a\,t^*[/math]

e la quota raggiunta è pari a

[math]z_f[/math]

. La legge
oraria della bomba risulta dunque essere

[math]z(t) = z_f - v^*\,t - \frac{1}{2}\,g\,t^2[/math]

e
quindi per calcolare il tempo

[math]t^{**}[/math]

per raggiungere terra è sufficiente impor-
re

[math]z(t^{**}) = 0\\[/math]

.


2. L'energia potenziale gravitazionale per portare un corpo di massa

[math]m[/math]

ad
un'altezza

[math]h[/math]

dal suolo risulta pari al lavoro che compie la forza peso, quindi

[math]U_g = (m\,g)\,h[/math]

. Se quindi

[math]\small m[/math]

è la massa della vernice tolta, tale energia è
quella risparmiata non dovendola appunto più sollevare. Analogamente, l'ener-
gia cinetica risulta pari al lavoro che una forza deve compiere per portare un
corpo di massa

[math]m[/math]

, inizialmente fermo, fino alla velocità

[math]v[/math]

, ossia si ha

[math]K = \frac{1}{2}\,m\,v^2[/math]

. Se quindi

[math]m[/math]

è la massa della vernice tolta, tale energia è
nuovamente quella risparmiata per quest'altro scopo!


Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[Myth]

Ti ringrazio per la risposta, chiaro come sempre, ho capito tutto meno il passaggio che riguarda la legge oraria della bomba.


[TeM]: a differenza della legge oraria dell'aereo occorre computare
anche il fatto che la bomba ha una velocità iniziale diversa da zero.