Derivate in fisica

[QuantumJ]

Qualcuno potrebbe aiutarmi per favore a risolvere questo problema?

[danyper]

La pressione idrostatica sul vertice del cono è funzione dell'altezza di colonna d'acqua che a sua volta varia con il tempo t.
Bisogna esprime quindi la pressione in funzione del tempo.
È nota la portata Q espressa in m^3/min ovvero il volume d'acqua che entra nel cono nell'unità di tempo (Attenzione che bisogna convertire i minuti in secondi!!):

[math]Q= \frac{V}{t}[/math]

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[math]V= Q*t[/math]

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Ricordiamo ora che il volume di un cono è:

[math] V= A_b*h=\pi r^2*h[/math]

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da cui ricaviamo h:
(*)

[math]h= \frac{V}{\pi r^2} [/math]

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Osserviamo che quando l'altezza d'acqua sarà 7,5m il raggio di base sarà 2,5 m.
Otteniamo r impostando una semplice proporzione :
R : r = H : h
5 : r = 15 : h

[math]r= \frac{h}{3} [/math]

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Sostituiamo ora nella(*)

[math]V= Q*t[/math]

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(**)

[math]h(t)= \frac{Qt}{\pi r^2}[/math]

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Ed ora la(**) nella legge di Stevino:

[math]p_i(t)=\rho gh(t)+ p_{atm}[/math]

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[math]p_i(t)= \rho g \frac{Qt}{\pi r^2}+p_{atm}[/math]

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e infine:

[math]p_i(t)= 9\rho g \frac{Qt}{\pi h^2}+p_{atm} [/math]

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Ora abbiamo la funzione p(t) da derivare:

[math] \frac{\partial p(t)}{\partial t}= 9\rho g \frac{Q}{\pi h^2}[/math]

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Quando h=7,5 m, e sostituendo tutti dati:

[math] \frac{\partial p(t)}{\partial t}=66,7 Pa/s [/math]

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Nota bene la funzione p(t)è una semplice funzione lineare infatti se poniamo:

[math]A=9\rho g \frac{Q}{\pi h^2}[/math]

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possiamo riscriverla come:

[math]p(t)= At+p_{atm}[/math]

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la cui derivata prima è:

[math]p'(t)=A[/math]

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essendo

[math]p_{atm}[/math]

una costante , la sua derivata è nulla.