Calcolare l'energia cinetica di un elettrone
ciao vorrei avere il vostro aiuto con il seguente esercizio.
Si considerino due lunghi cilindri metallici concentrici, sui quali sono disposte delle cariche uguali e di segno opposto, con densità lineare,in modulo, pari a 30 nC/m; il cilindro più interno è carico positivamente e quello più esterno negativamente. Si stabilisca l'energia cinetica di un elettrone che si muove lungo una traiettoria circolare disposta perpendicolarmente al comune asse dei cilindri,concentrica con tali cilindri e contenuta tra essi.
Ho pensato di considerare una superficie cilindrica S, concentrica ai cilindri, di raggio r compreso tra i raggi dei due cilindri e di altezza h molto minore della lunghezza dei cilindri.
ora mi sono bloccato perchè non riesco ad applicare il teorema di gauss.
se per favore mi potete aiutare, spiegandomi come fare.
grazie.
Si considerino due lunghi cilindri metallici concentrici, sui quali sono disposte delle cariche uguali e di segno opposto, con densità lineare,in modulo, pari a 30 nC/m; il cilindro più interno è carico positivamente e quello più esterno negativamente. Si stabilisca l'energia cinetica di un elettrone che si muove lungo una traiettoria circolare disposta perpendicolarmente al comune asse dei cilindri,concentrica con tali cilindri e contenuta tra essi.
Ho pensato di considerare una superficie cilindrica S, concentrica ai cilindri, di raggio r compreso tra i raggi dei due cilindri e di altezza h molto minore della lunghezza dei cilindri.
ora mi sono bloccato perchè non riesco ad applicare il teorema di gauss.
se per favore mi potete aiutare, spiegandomi come fare.
grazie.
Risposte
Il tuo inizio e` buono, devi solo andare avanti.
Si considera una superficie cilindrica S, coassiale con i cilindri, di raggio r compreso tra i raggi dei due cilindri e di lunghezza h molto minore della lunghezza dei cilindri (in modo da trascurare gli effetti di bordo): cosi` i due cilindri si possono considerare di lunghezza infinita.
Per simmetria allora il campo elettrico tra i due cilindri (in pratica essi costituiscono un condensatore cilindrico) e` diretto radialmente, cioe` e` perpendicolare all'asse dei cilindri e diretto verso l'esterno (perche` il cilindro interno e` carico positivamente).
Si applica il teorema di Gauss:
Il flusso di E attraverso S e` semplicemente l'area della superficie laterale moltiplicata per E (le due basi del cilindro non contribuiscono: attraverso di esse il flusso di E e` zero):
Tale flusso e` uguale alla carica contenuta dentro S, cioe`
Si ha quindi:
Ora un elettrone di carica -e viene attratto dal cilindro con la carica positiva, cioe` quello interno. Se percorre un'orbita circolare e` soggetto anche alla forza centrifuga. Bisogna allora calcolare quale deve essere la sua velocita` in modo che forza elettrica e forza centrifuga si compensino.
Sia m la massa dell'elettrone, v la sua velocita`. In modulo si ha
e da qui ti puoi ricavare la velocita`, ma visto che chiedevano l'energia cinetica:
Si considera una superficie cilindrica S, coassiale con i cilindri, di raggio r compreso tra i raggi dei due cilindri e di lunghezza h molto minore della lunghezza dei cilindri (in modo da trascurare gli effetti di bordo): cosi` i due cilindri si possono considerare di lunghezza infinita.
Per simmetria allora il campo elettrico tra i due cilindri (in pratica essi costituiscono un condensatore cilindrico) e` diretto radialmente, cioe` e` perpendicolare all'asse dei cilindri e diretto verso l'esterno (perche` il cilindro interno e` carico positivamente).
Si applica il teorema di Gauss:
Il flusso di E attraverso S e` semplicemente l'area della superficie laterale moltiplicata per E (le due basi del cilindro non contribuiscono: attraverso di esse il flusso di E e` zero):
[math]2\pi r h E(r)[/math]
. Tale flusso e` uguale alla carica contenuta dentro S, cioe`
[math]Q_S=\lambda h[/math]
, divisa per [math]\varepsilon_0[/math]
([math]\lambda[/math]
e` la densita` lineare di carica data dal testo).Si ha quindi:
[math]2\pi r h E(r)=\frac{\lambda h}{\varepsilon_0 }[/math]
[math]E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r }[/math]
Ora un elettrone di carica -e viene attratto dal cilindro con la carica positiva, cioe` quello interno. Se percorre un'orbita circolare e` soggetto anche alla forza centrifuga. Bisogna allora calcolare quale deve essere la sua velocita` in modo che forza elettrica e forza centrifuga si compensino.
Sia m la massa dell'elettrone, v la sua velocita`. In modulo si ha
[math]eE(r)=m\frac{v^2}{r}[/math]
[math]\frac{e\lambda}{2\pi\varepsilon_0r }=m\frac{v^2}{r}[/math]
[math]mv^2=\frac{e\lambda}{2\pi\varepsilon_0 }[/math]
e da qui ti puoi ricavare la velocita`, ma visto che chiedevano l'energia cinetica:
[math]K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{e\lambda}{4\pi\varepsilon_0 }=
\frac{30\cdot 10^{-9}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}}{4\pi \cdot 8.85\cdot 10^{-12}} J=4.3\cdot 10^{-17}~J=270~eV.
[/math]
\frac{30\cdot 10^{-9}\cdot 1.6\cdot 10^{-19}}{4\pi \cdot 8.85\cdot 10^{-12}} J=4.3\cdot 10^{-17}~J=270~eV.
[/math]
grazie mille
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