Stupore degli studenti per una domanda nel compito
L’altro giorno mi sono divertito… Ho inserito in un compito sulle equazioni di secondo grado il seguente problema:
La risoluzione del problema è di una banalità sconcertante ed ero sicuro che gli studenti sarebbero riuscita a portarla a casa, come hanno fatto.
Quello che ha destato stupore negli studenti è stata la seconda richiesta.
Per rispondere con un po’ di cognizione di causa e non proprio “tirando ad indovinare”, gli studenti avrebbero dovuto conoscere solamente un paio di cose, cioè che la civiltà babilonese era stanziata e prospera in Mesopotamia ben prima che Pitagora scoprisse i numeri irrazionali e sicuramente prima che si inventassero i numeri negativi e le radici quadrate.
Quindi, cenni minimi di Storia (argomento di discussione con la collega di Geo-Storia) e di Storia della Matematica (di cui fornisco idee durante le lezioni).
Il “secondo te” lasciava via libera a diverse alternative possibili, una delle quali era, ad esempio, un’approssimazione della soluzione positiva dell’equazione.
Invece… Buio completo.
Mai sperimentato reazioni simili?
Sull’antica tavoletta babilonese BM13901 del 1800 a.C. circa conservata al British Museum di Londra compare il seguente problema:
“Sommando ad un numero il suo quadrato ottengo $45$.”
Quanti e quali sono i numeri che risolvono il problema?
Secondo te, quale soluzione è presente sulla tavoletta e perché?
La risoluzione del problema è di una banalità sconcertante ed ero sicuro che gli studenti sarebbero riuscita a portarla a casa, come hanno fatto.
Quello che ha destato stupore negli studenti è stata la seconda richiesta.
Per rispondere con un po’ di cognizione di causa e non proprio “tirando ad indovinare”, gli studenti avrebbero dovuto conoscere solamente un paio di cose, cioè che la civiltà babilonese era stanziata e prospera in Mesopotamia ben prima che Pitagora scoprisse i numeri irrazionali e sicuramente prima che si inventassero i numeri negativi e le radici quadrate.
Quindi, cenni minimi di Storia (argomento di discussione con la collega di Geo-Storia) e di Storia della Matematica (di cui fornisco idee durante le lezioni).
Il “secondo te” lasciava via libera a diverse alternative possibili, una delle quali era, ad esempio, un’approssimazione della soluzione positiva dell’equazione.
Invece… Buio completo.
Mai sperimentato reazioni simili?
Risposte
La prima domanda è un esercizietto classico, per questo non hanno storto il naso. La seconda è insolita per loro. Tiro ad indovinare, poi magari sbaglio: quando hai fatto quei cenni di storia della Matematica, gli allievi l'avranno presa per una curiosità che non prendi sul serio più di tanto. Li hai presi dalla prima o te li sei trovati in seconda direttamente?
Ma va bene, continua a fare per quanto puoi un po' di storia della Matematica.
Ma va bene, continua a fare per quanto puoi un po' di storia della Matematica.
"gugo82":
Secondo te, quale soluzione è presente sulla tavoletta e perché?
Vedo tutto buio. Lo ammetto: avrebbe messo quattro anche a me prof.
@Indrjo: [ot]Chiaramente sono miei dall’anno scorso, ma di una classe che non ha capito quasi nulla di quello che voglio comunicare.
Sono i tipici studenti che se hanno la formula, bene; quello che formula non è, lasciano andare… Insomma, roba buona per futura manovalanza, piuttosto che per (un certo tipo di) lavoro intellettuale.
Ovviamente con i dovuti distinguo: qualcuno che cerca di carpire qualcosa in più c’è… Ma il dato medio(cre) dell’aula è inquietante.[/ot]
@SirDaniel: Se fai un po’ di ricerca in merito su google, troverai che c’è una pagina di WIKIpedia francese dedicata alla tavoletta (della stessa epoca del codice di Hammurabi) in cui è spiegato un po’ il metodo risolutivo sfruttato dai babilonesi. Se cerchi un po’ meglio, troverai un paio di testi specialistici di Storia della Matematica che ne parlano… Ma ovviamente non è lì che volevo si andasse a parare: non chiedevo di indovinare il metodo (geometrico e non algebrico) col quale i babilonesi costruivano la soluzione, approssimata ed espressa nel loro sistema di numerazione (sessagesimale), dell’equazione.
La domanda era finalizzata a far riflettere i ragazzi su quel che si è detto in aula nel corso dei due anni a proposito dei numeri negativi (che non erano stati “inventati” nel 1800 a.C.), dei numeri irrazionali (che non erano stati “scoperti” nel 1800 a.C.) e dell’Algebra letterale (che non “esisteva” nel 1800 a.C.), ed a fornire una risposta plausibile in base alle loro (supposte) conoscenze storiche, matematiche e storico-matematiche.
Sono i tipici studenti che se hanno la formula, bene; quello che formula non è, lasciano andare… Insomma, roba buona per futura manovalanza, piuttosto che per (un certo tipo di) lavoro intellettuale.
Ovviamente con i dovuti distinguo: qualcuno che cerca di carpire qualcosa in più c’è… Ma il dato medio(cre) dell’aula è inquietante.[/ot]
@SirDaniel: Se fai un po’ di ricerca in merito su google, troverai che c’è una pagina di WIKIpedia francese dedicata alla tavoletta (della stessa epoca del codice di Hammurabi) in cui è spiegato un po’ il metodo risolutivo sfruttato dai babilonesi. Se cerchi un po’ meglio, troverai un paio di testi specialistici di Storia della Matematica che ne parlano… Ma ovviamente non è lì che volevo si andasse a parare: non chiedevo di indovinare il metodo (geometrico e non algebrico) col quale i babilonesi costruivano la soluzione, approssimata ed espressa nel loro sistema di numerazione (sessagesimale), dell’equazione.
La domanda era finalizzata a far riflettere i ragazzi su quel che si è detto in aula nel corso dei due anni a proposito dei numeri negativi (che non erano stati “inventati” nel 1800 a.C.), dei numeri irrazionali (che non erano stati “scoperti” nel 1800 a.C.) e dell’Algebra letterale (che non “esisteva” nel 1800 a.C.), ed a fornire una risposta plausibile in base alle loro (supposte) conoscenze storiche, matematiche e storico-matematiche.
Ah, allora ci avevo azzeccato. Non era difficile poi... In definitiva ti stai stupendo della loro Divina Ignoranza. Capisco il tuo sconforto. L'unica via è insistere. Purtroppo questo è lo stato di cose. Pensa quanto soli e incompresi si trovano quelli che tentano di far apprezzare la Filosofia, la Letteratura, o l'Arte (in senso lato) allo studente medio. Poveri noi...
Capisco il tuo sconforto. L'unica via è insistere. Purtroppo questo è lo stato di cose. Pensa quanto soli e incompresi si trovano quelli che tentano di far apprezzare la Filosofia, la Letteratura, o l'Arte (in senso lato) allo studente medio. Poveri noi...
[ot]Grazie del riferimento @Gugo82. Non so il francese ma mi informerò in merito.
Sono convinto che i suoi allievi, magari a distanza di anni, la vengono/la verranno a ringraziare.[/ot]
Sono convinto che i suoi allievi, magari a distanza di anni, la vengono/la verranno a ringraziare.[/ot]
"Il calcolo corretto è la porta alla conoscenza di tutte le cose e dei loro oscuri misteri"
(incipit del papiro di Rhind, ca. 2000-1800 a.C.)
(incipit del papiro di Rhind, ca. 2000-1800 a.C.)
"gugo82":
Secondo te, quale soluzione è presente sulla tavoletta e perché?
[/quote]
Scusami Gugo, ti dico la mia opinione, con tutta la stima che ho di te.Tutto quello che tu dici è giusto, così come sono giuste le osservazioni delle altre persone che hanno risposto.
Però, dalla parte degli studenti, direi questo: la domanda poteva apparire vaga, gli studenti avrebbero potuto pensare qualunque cosa, tipo invasione degli alieni che avevano dato la soluzione ai babilonesi.
Certo che gli avevate dato nozioni storiche, ma uno studente è bombardato da tante cose. In quel momento non sa che pensare. Caso mai sarebbe stato diverso dire 'Quale soluzione potrebbe essere presente sulla tavoletta e perché, date le cognizioni matematiche del tempo dei babilonesi'?
Credimi, ho esperienza almeno decennale di domande a studenti, non di matematica, ma di economia.
Gli studenti non sono stupidi, alle volte ci sono fraintendimenti.
[ot]
Mi hai fatto sbellicare Gabriella.
È da un po' che non trasmettono più voyager e Roberto Giacobbo sembra scomparso.[/ot]
"gabriella127":
invasione degli alieni che avevano dato la soluzione ai babilonesi
Mi hai fatto sbellicare Gabriella.È da un po' che non trasmettono più voyager e Roberto Giacobbo sembra scomparso.[/ot]
"gabriella127":
[...] uno studente è bombardato da tante cose. In quel momento non sa che pensare. Caso mai sarebbe stato diverso dire 'Quale soluzione potrebbe essere presente sulla tavoletta e perché, date le cognizioni matematiche del tempo dei babilonesi'?
Il problema è proprio quello, gli studenti non hanno immaginato che dovevano attingere a conoscenze non prettamente matematiche perché non gli è stata sottoposta una esplicita richiesta di farlo.
@gabriella127 & Albesa81: bella obiezione… Peccato che io non sia uno di quei docenti che “durante il compito non si può chiedere niente” e che i miei studenti lo sappiano dall’anno scorso. 
Inoltre, senza quella domanda o con quella domanda posta in modo molto esplicito, il problema sarebbe diventato un banale esercizio.
@SirDaniel: sul forum ci si dà del tu.
Inoltre, senza quella domanda o con quella domanda posta in modo molto esplicito, il problema sarebbe diventato un banale esercizio.
@SirDaniel: sul forum ci si dà del tu.
Certo gugo, era solo per immaginare una ragione per cui tutti sono rimasti come salami.
Semplicemente non tentare di giustificarli. Io credo che dagli studenti invece si possa pretendere un po' ed è giusto farlo.
Io credo che dagli studenti invece si possa pretendere un po' ed è giusto farlo.
"gugo82":
@gabriella127 & Albesa81: bella obiezione… Peccato che io non sia uno di quei docenti che “durante il compito non si può chiedere niente” e che i miei studenti lo sappiano dall’anno scorso.
Inoltre, senza quella domanda o con quella domanda posta in modo molto esplicito, il problema sarebbe diventato un banale esercizio.
Mai detto il contrario, il mio intervento era appunto per sottolineare che c'è un problema alla base nella preparazione degli studenti, non in chi propone questo genere di compiti.
"gugo82":
@SirDaniel: sul forum ci si dà del tu.
Di solito ai professori do del lei.
Se mi autorizza lei prof. allora ti do del tu.
"Indrjo Dedej":
Semplicemente non tentare di giustificarli.
Non si tratta di giustificare, ma di capire. Quando a una domanda, ad esempio in compiti di esame, non risponde mai nessuno o rispondono tutti in modo sbagliato ci si chiede il perché, che va dalla asinaggine degli studenti alla domanda mal formulata, in tutte le possibili gradazioni intermedie.
Quanto a pretendere dagli studenti, è giusto, si tratta anche di una forma di rispetto nei loro confronti.
p.s. e poi che gli studenti siano rimasti spaesati non è detto che sia didatticamente sbagliato. Caso mai proprio per questo avranno capito qualcosa e lo ricorderanno.
Ho risolto il problema! $n=1/2$. Prima una premessa e poi spiego...
Devo essere sincero, avevo letto e visto video (anche recenti grazie alla plimpton 322) sulla matematica dei babilonesi e il loro approccio era esclusivamente trigonometrico ma la loro "versione" della trigonometria differisce (e di molto) dalla nostra.
L'enfasi è sui rapporti fra lati ma soprattutto aree e angoli perchè in questo modo potevano calcolarli/approssimarli facilmente come rapporti.
Per comprendere meglio questo punto vi rimando al canale di Wildberger, perchè non solo ha dei video dedicati a ciò che chiama "matematica algebrica" (che esclude infiniti e infinitesimi) ma anche alcuni video dedicati ai babilonesi.
Prima di storcere il naso, vi invito a guardare il suo approccio alla trigonometria razionale che parte dalle aree (quadrance) invece che dai lati e quindi sfrutta il teorema di pitagora in modo più "naturale" (non c'è bisogno di condividere il suo approccio radicale per apprezzarne alcuni aspetti).
Non è un caso quindi che Wildberger sia particolarmente esaltato dai babilonesi e il loro "semplice" approccio per evitare radici e quant'altro ottenendo comunque risultati importanti per le applicazioni pratiche (specie ingegneristiche).
Sapendo questo, mi son detto "non può essere quella l'equazione, non avrebbe alcun senso pratico. Piuttosto invece mi ricorda molto le tavole in cui mettevano in relazione lati e aree per riassumere rapidamente dei risultati".
Quindi, considerando che usavano il sistema sessagesimale e prediligevano i numeri interi (e loro rapporti) non c'è alcuna ragione per non pensare che usassero il 60 anche come unità. Perciò, 45 significa 3/4 secondo me.
Ha senso no? Immaginate come avreste semplificato le cose a suo tempo..per avere appunto una trigonometria "razionale", come la chiama Wildberger https://www.youtube.com/user/njwildberg ... _polymer=1
Devo essere sincero, avevo letto e visto video (anche recenti grazie alla plimpton 322) sulla matematica dei babilonesi e il loro approccio era esclusivamente trigonometrico ma la loro "versione" della trigonometria differisce (e di molto) dalla nostra.
L'enfasi è sui rapporti fra lati ma soprattutto aree e angoli perchè in questo modo potevano calcolarli/approssimarli facilmente come rapporti.
Per comprendere meglio questo punto vi rimando al canale di Wildberger, perchè non solo ha dei video dedicati a ciò che chiama "matematica algebrica" (che esclude infiniti e infinitesimi) ma anche alcuni video dedicati ai babilonesi.
Prima di storcere il naso, vi invito a guardare il suo approccio alla trigonometria razionale che parte dalle aree (quadrance) invece che dai lati e quindi sfrutta il teorema di pitagora in modo più "naturale" (non c'è bisogno di condividere il suo approccio radicale per apprezzarne alcuni aspetti).
Non è un caso quindi che Wildberger sia particolarmente esaltato dai babilonesi e il loro "semplice" approccio per evitare radici e quant'altro ottenendo comunque risultati importanti per le applicazioni pratiche (specie ingegneristiche).
Sapendo questo, mi son detto "non può essere quella l'equazione, non avrebbe alcun senso pratico. Piuttosto invece mi ricorda molto le tavole in cui mettevano in relazione lati e aree per riassumere rapidamente dei risultati".
Quindi, considerando che usavano il sistema sessagesimale e prediligevano i numeri interi (e loro rapporti) non c'è alcuna ragione per non pensare che usassero il 60 anche come unità. Perciò, 45 significa 3/4 secondo me.
Ha senso no? Immaginate come avreste semplificato le cose a suo tempo..per avere appunto una trigonometria "razionale", come la chiama Wildberger https://www.youtube.com/user/njwildberg ... _polymer=1
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