Serie di taylor di una funzione composta

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27 set 2007, 10:51

non riesco a fare la serie di taylor di questa funzione

$f(x) = (x + 2) log(1 + (x + 2)^2) :

io per ricavare la serie di taylor di una funzione,mi trovo la derivata n-sima della funzione centrata nella x richiesta e poi la inserisco nella formula della serie di taylor e finisco l'esercizio

fino a quando la funzione è semplice riesco vedendo lo sviluppo delle derivate quale è la derivata n-sima,ma in questo caso non riesco a trovarla perchè la derivata viene troppo lunga

come posso fare?

Risposte

Apocalisse86

27 set 2007, 13:44

Io farei così, prego però tutti le menti superiori di controllare perché non sono per niente sicuro del procedimento...grazie:

nella tua $f(x)=(x+2)ln(1+(x+2)^2)$ poni $(x+2)=t$ ottenendo $tln(1+t^2)$.
Consideriamo ora solo il pezzo $ln(1+t^2)$, per farla più facile scrivo un'altra posizione ossia pongo $t^2=z$ ottenendo $ln(1+z)$ che so sviluppare perché è la serie logaritmica che è una serie notevole:
$ln(1+z)=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n-1)\frac{z^n}{n} $ ma nel nostro caso $z=t^2$ quindi:
$ln(1+t^2)=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n-1)\frac{t^(2n)}{n}$
Moltiplicando la serie appena scritta per $t$ abbiamo:
$tln(1+t^2)= \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n-1)\frac{t^(2n)}{n}(t)= \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n-1)\frac{t^(2n+1)}{n}$

Ricordando la posizione fatta all'inizio cioè che $t=(x+2)$ sostituendo ottengo la sviluppo richiesto

$(x+2)ln(1+(x+2)^2)=\sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^(n-1)\frac{(x+2)^(2n+1)}{n}$

ripeto...molto probabilmente ho commesso degli errori, non sono sicuro che questo metodo di esecuzione sia corretto...spero che qualcuno lo controlli...CIAO!!