Problema isoperimetrico piano
Il problema isoperimetrico piano consiste nell'individuare quale figura geometrica piana ha la massima area tra quelle aventi un determinato perimetro.
Tale figura è il cerchio.
Si può dimostrare questo fatto a degli studenti dell'ultimo anno di liceo oppure sono strettamente necessarie nozioni più avanzate?
Tale figura è il cerchio.
Si può dimostrare questo fatto a degli studenti dell'ultimo anno di liceo oppure sono strettamente necessarie nozioni più avanzate?
Risposte
"thedarkhero":
Il problema isoperimetrico piano consiste nell'individuare quale figura geometrica piana ha la massima area tra quelle aventi un determinato perimetro.
Tale figura è il cerchio.
Si può dimostrare questo fatto a degli studenti dell'ultimo anno di liceo oppure sono strettamente necessarie nozioni più avanzate?
Vedo due possibilità:
1) In un modo plausibile, ma non perfetto. Sarebbe necessario dire "Questa non è una dimostrazione. I suoi difetti sono:(...)"
[Posso cercare sul web e sui libri a casa. Tu potresti cercare sul web. Magari controllo i libri e basta perché magari ne ho più di te.]
o
2) Perfettamente. Mentre guardo i miei libri dovrei rendermene conto, entro i limiti della mia comprensione di queste cose.
Non credo che "nessuna speranza" sia _ovviamente_ la risposta giusta, ma posso sbagliarmi.
La lunghezza della circonferenza alle superiori si ricava come elemento separatore dei poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza, che per $n->oo$, dove $n$ è il numero di lati dei poligoni regolari, tendono ad avere un perimetro che si avvicina sempre di più alla lunghezza della circonferenza. Questo può bastare per giustificare la tua osservazione?
"HowardRoark":
La lunghezza della circonferenza alle superiori si ricava come elemento separatore dei poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza, che per $n->oo$, dove $n$ è il numero di lati dei poligoni regolari, tendono ad avere un perimetro che si avvicina sempre di più alla lunghezza della circonferenza. Questo può bastare per giustificare la tua osservazione?
Non credo. La cosa potrebbe essere un frattale o altra cosa molto contorta, e l'"osservazione" è per qualsiasi figura geometrica. Non bastano i poligoni regolari.
Grazie axpgn!
Grazie a tutti per le risposte!
Mi avete fatto venire in mente alcune considerazioni che si dovrebbero riuscire a dimostrare anche solo con le conoscenze del liceo:
- tra tutti i poligoni di $n$ lati aventi un fissato perimetro, quello che ha area massima non può essere concavo e deve dunque essere convesso;
- tra tutti i poligoni di $n$ lati aventi un fissato perimetro, quello che ha area massima è il poligono regolare;
- se $n>m$ allora il poligono regolare di $n$ lati avente un fissato perimetro ha area maggiore del perimetro di $m$ lati avente lo stesso perimetro;
Queste considerazioni dovrebbero essere sufficienti a provare che ogni poligono avente un fissato perimetro ha area minore della circonferenza avente lo stesso perimetro.
Mi chiedo se da qui si possa concludere che ogni figura avente un fissato perimetro ha area minore della circonferenza avente lo stesso perimetro.
Mi avete fatto venire in mente alcune considerazioni che si dovrebbero riuscire a dimostrare anche solo con le conoscenze del liceo:
- tra tutti i poligoni di $n$ lati aventi un fissato perimetro, quello che ha area massima non può essere concavo e deve dunque essere convesso;
- tra tutti i poligoni di $n$ lati aventi un fissato perimetro, quello che ha area massima è il poligono regolare;
- se $n>m$ allora il poligono regolare di $n$ lati avente un fissato perimetro ha area maggiore del perimetro di $m$ lati avente lo stesso perimetro;
Queste considerazioni dovrebbero essere sufficienti a provare che ogni poligono avente un fissato perimetro ha area minore della circonferenza avente lo stesso perimetro.
Mi chiedo se da qui si possa concludere che ogni figura avente un fissato perimetro ha area minore della circonferenza avente lo stesso perimetro.
Il problema, come già diceva ghira, è in "ogni figura".
Cosa vuol dire "ogni figura" nel contesto in cui ti muovi?
Non meno sdrucciolevole è la questione del "perimetro". Cosa voglia dire ((misura della) lunghezza del) perimetro è chiaro per i poligoni; ma per "tutte le altre figure", cosa è il perimetro?
E parimenti, per "tutte le altre figure", cos'è l'area?
P.S.: Anni fa, diciamo 14, ho scritto di questa faccenda per il magazine, con un'impostazione storica (qui). Recentemente, ho anche scoperto che questo articolo è stato copiato quasi parola per parola (alcune figure incluse) come introduzione ad una tesi di laurea -credo triennale- all'università di Bologna, senza nemmeno essere citato in bibliografia.
Tralascio ulteriori commenti sul comportamento dell'estensore della tesi ed il relatore.
Cosa vuol dire "ogni figura" nel contesto in cui ti muovi?
Non meno sdrucciolevole è la questione del "perimetro". Cosa voglia dire ((misura della) lunghezza del) perimetro è chiaro per i poligoni; ma per "tutte le altre figure", cosa è il perimetro?
E parimenti, per "tutte le altre figure", cos'è l'area?
P.S.: Anni fa, diciamo 14, ho scritto di questa faccenda per il magazine, con un'impostazione storica (qui). Recentemente, ho anche scoperto che questo articolo è stato copiato quasi parola per parola (alcune figure incluse) come introduzione ad una tesi di laurea -credo triennale- all'università di Bologna, senza nemmeno essere citato in bibliografia.
Tralascio ulteriori commenti sul comportamento dell'estensore della tesi ed il relatore.
"gugo82":
Tralascio ulteriori commenti sul comportamento dell'estensore della tesi ed il relatore.
Facile, si chiamano 'ladri di lavoro altrui'. Ne ho conosciuto qualcuno.
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