Insegnanti e derivate seconde
Un buongiorno a tutti gli insegnanti - e non, ma ora mi rivolgo soprattutto ai primi 
- che arricchiscono ogni giorno le discussioni in questo forum.
Volevo farvi una domanda su una di quelle questioni dove non c'è un'opinione precisa ma dove vale una sorta di regola "non scritta". Fin dalle superiori sono stato abituato alla seguente affermazione, diciamo sottobanco
"In uno studio di funzione se la derivata seconda non è umanamente calcolabile la si può anche saltare e andare a occhio con il grafico finale".
Specie se il tempo stringe, aggiungerei.
Ho visto, inoltre, che non vale solo nello scientifico di sbt, ma anche all'università, oltre che altri studenti di altri atenei/scuole secondarie m'hanno detto che sotto sotto vale questa cosa. Cambia l'asticella[nota]Nel senso uno che fa analisi I per biologia può anche non calcolarla per niente la derivata seconda o limitarsi a robe facili mentre per uno che fa analisi I per matematica ci si ferma solo davanti a mostri vari.[/nota], magari, ma il succo bene o male è quello.
Sto, dunque, aiutando una ragazza che deve fare analisi matematica I, non del cdl in matematica, la quale m'ha chiesto di svolgerle un paio di studi di funzione da prendere come esempio del modo di ragionare. Uno di questi era
che per farlo, ieri, ci ho impiegato 2 ore e mezzo. Certo, ho anche motivato tutti i passaggi e magari se lo avessi fatto per un semplice scritto ci avrei messo minimo un'ora di meno. Il succo è che di quella funzione, la derivata seconda - che ho calcolato senza derivare il valore assoluto, ho fatto alla vecchia maniera cioè una derivata seconda per $x\ge0$ e un'altra per $x<0$ - viene piuttosto macchinosa e sono anche sicuro di aver sbagliato anche qualche segno (mi viene convessa per $x>0$ ma ha un asintoto obliquo quindi dovrebbe "superarlo" se fosse convessa...).
Mi sono chiesto, dunque, se è giusto "tramandarle" questa legge non scritta. Cioè che per derivate seconde non tanto agevoli - c'è un metro di misura evidentemente diverso tra studenti di matematica/fisica e di altri cdl dove di matematica si fa giusto un esame... - vale il "vabbè, saltiamola e andiamo a occhio con il grafico".
Sono curioso di sentire pareri.
- che arricchiscono ogni giorno le discussioni in questo forum.Volevo farvi una domanda su una di quelle questioni dove non c'è un'opinione precisa ma dove vale una sorta di regola "non scritta". Fin dalle superiori sono stato abituato alla seguente affermazione, diciamo sottobanco
"In uno studio di funzione se la derivata seconda non è umanamente calcolabile la si può anche saltare e andare a occhio con il grafico finale".
Specie se il tempo stringe, aggiungerei.
Ho visto, inoltre, che non vale solo nello scientifico di sbt, ma anche all'università, oltre che altri studenti di altri atenei/scuole secondarie m'hanno detto che sotto sotto vale questa cosa. Cambia l'asticella[nota]Nel senso uno che fa analisi I per biologia può anche non calcolarla per niente la derivata seconda o limitarsi a robe facili mentre per uno che fa analisi I per matematica ci si ferma solo davanti a mostri vari.[/nota], magari, ma il succo bene o male è quello.
Sto, dunque, aiutando una ragazza che deve fare analisi matematica I, non del cdl in matematica, la quale m'ha chiesto di svolgerle un paio di studi di funzione da prendere come esempio del modo di ragionare. Uno di questi era
$f(x)=xe^(1/(1-|x|))$
che per farlo, ieri, ci ho impiegato 2 ore e mezzo. Certo, ho anche motivato tutti i passaggi e magari se lo avessi fatto per un semplice scritto ci avrei messo minimo un'ora di meno. Il succo è che di quella funzione, la derivata seconda - che ho calcolato senza derivare il valore assoluto, ho fatto alla vecchia maniera cioè una derivata seconda per $x\ge0$ e un'altra per $x<0$ - viene piuttosto macchinosa e sono anche sicuro di aver sbagliato anche qualche segno (mi viene convessa per $x>0$ ma ha un asintoto obliquo quindi dovrebbe "superarlo" se fosse convessa...).
Mi sono chiesto, dunque, se è giusto "tramandarle" questa legge non scritta. Cioè che per derivate seconde non tanto agevoli - c'è un metro di misura evidentemente diverso tra studenti di matematica/fisica e di altri cdl dove di matematica si fa giusto un esame... - vale il "vabbè, saltiamola e andiamo a occhio con il grafico".
Sono curioso di sentire pareri.
Risposte
Andando con un po' di brutalità diciamo che, siccome la funzione è dispari, basta studiare la funzione per $x>=0$ e poi tracciare la simmetrica rispetto all'origine ottenendo il resto, in questo modo si eliminano i problemi dovuti al valore assoluto.
Per quanto riguarda la derivata seconda credo che valga la legge non scritta da te citata, anche se in questo caso è abbastanza interessante perché ha un flesso.
Per quanto riguarda la derivata seconda credo che valga la legge non scritta da te citata, anche se in questo caso è abbastanza interessante perché ha un flesso.
Grazie per la risposta @melia.
Quindi glielo dico di questa regola "umana". Gliela metto su questo piano: "se vedi che la derivata prima inizia ad essere complicata e quella seconda sospetti che non sia umanamente" - abbiamo concezioni diverse perché io sono un ex cidiellino di matematica mentre lei non ricordo se biologia, chimica o cos'altro - "calcolabile, allora puoi saltarla e andare a occhio sul grafico" finale.
Per la cronaca, avevo sbagliato un segno nella derivata seconda, rifacendola mi riporta compreso il flesso per $x=2$: non aveva senso che la funzione era sempre convessa per $x\ge 0$ - come avevo trovato, sbagliando per l'appunto - dal momento che era presente quell'asintoto per $x->+\infty$ (la retta $y=x+1$).
Mi ero ripromesso di ricalcolarla daccapo e così ho fatto correggendo l'errore.
"@melia":
Per quanto riguarda la derivata seconda credo che valga la legge non scritta da te citata
Quindi glielo dico di questa regola "umana". Gliela metto su questo piano: "se vedi che la derivata prima inizia ad essere complicata e quella seconda sospetti che non sia umanamente" - abbiamo concezioni diverse perché io sono un ex cidiellino di matematica mentre lei non ricordo se biologia, chimica o cos'altro - "calcolabile, allora puoi saltarla e andare a occhio sul grafico" finale.
anche se in questo caso è abbastanza interessante perché ha un flesso.
Per la cronaca, avevo sbagliato un segno nella derivata seconda, rifacendola mi riporta compreso il flesso per $x=2$: non aveva senso che la funzione era sempre convessa per $x\ge 0$ - come avevo trovato, sbagliando per l'appunto - dal momento che era presente quell'asintoto per $x->+\infty$ (la retta $y=x+1$).
Mi ero ripromesso di ricalcolarla daccapo e così ho fatto correggendo l'errore.
Spero di non essere OT ma di stimolare una riflessione che parte proprio dai calcoli certosini sulla derivata seconda accennati dall'ex collega Zero87.
Spesse volte mi sono trovato ad aiutare persone che preparavano il "classico" esame di Fondamenti di Matematica, Elementi di Matematica, ecc. per iscritti a Scienze Biologiche, Farmacia, CTF et similia.
Troppe volte l'unica vera difficoltà delle prove di esame che mi sono state sottoposte è riscontrabile in calcoli ridondanti e pesantissimi. Il vero re delle difficoltà di calcolo si è quasi sempre dimostrato il valore assoluto, specie quando si concatenano moduli dentro altri moduli (spingendo lo studente a effettuare tre casi diversi della stessa equazione per altrettanti sottoinsiemi del dominio, quando andava bene).
Le derivate seconde, per riallacciarmi al topic, sono un vero incubo e l'unica ancora di salvezza è determinare i soli flessi tentando di annullare numeratori di frazioni algebriche sterminate.
E' possibile che alle nuove leve della scienza e della tecnica sia comunicato che la matematica è questo ammasso di calcoli senza un fine?
E, ammesso che l'attenzione alla rapidità di calcolo, alla precisione, e all'ordine mentale che è condizione necessaria alla buona esecuzione dell'esercizio sono ottimi valori da instillare, perchè portare il calcolo verso meandri molto ostici che peraltro non serviranno mai allo studente? (non a livello di lavoro aziendale, intendo nel percorso universitario; gran parte dell'esame di matematica se insegnato bene andrebbe a colmare il livello richiesto da Statistica, Fisica, e tutti gli altri esami che nei CdL scientifici abbondano ed hanno bisogno di un'imbeccata di rigore matematico nei ragionamenti o nei passaggi algebrici, ma non certo di concavità di moduli dentro moduli dentro altri moduli).
Spesse volte mi sono trovato ad aiutare persone che preparavano il "classico" esame di Fondamenti di Matematica, Elementi di Matematica, ecc. per iscritti a Scienze Biologiche, Farmacia, CTF et similia.
Troppe volte l'unica vera difficoltà delle prove di esame che mi sono state sottoposte è riscontrabile in calcoli ridondanti e pesantissimi. Il vero re delle difficoltà di calcolo si è quasi sempre dimostrato il valore assoluto, specie quando si concatenano moduli dentro altri moduli (spingendo lo studente a effettuare tre casi diversi della stessa equazione per altrettanti sottoinsiemi del dominio, quando andava bene).
Le derivate seconde, per riallacciarmi al topic, sono un vero incubo e l'unica ancora di salvezza è determinare i soli flessi tentando di annullare numeratori di frazioni algebriche sterminate.
E' possibile che alle nuove leve della scienza e della tecnica sia comunicato che la matematica è questo ammasso di calcoli senza un fine?
E, ammesso che l'attenzione alla rapidità di calcolo, alla precisione, e all'ordine mentale che è condizione necessaria alla buona esecuzione dell'esercizio sono ottimi valori da instillare, perchè portare il calcolo verso meandri molto ostici che peraltro non serviranno mai allo studente? (non a livello di lavoro aziendale, intendo nel percorso universitario; gran parte dell'esame di matematica se insegnato bene andrebbe a colmare il livello richiesto da Statistica, Fisica, e tutti gli altri esami che nei CdL scientifici abbondano ed hanno bisogno di un'imbeccata di rigore matematico nei ragionamenti o nei passaggi algebrici, ma non certo di concavità di moduli dentro moduli dentro altri moduli).
"PadreBishop":
Spero di non essere OT ma di stimolare una riflessione che parte proprio dai calcoli certosini sulla derivata seconda accennati dall'ex collega Zero87.
Ciao ex-collega.
Troppe volte l'unica vera difficoltà delle prove di esame che mi sono state sottoposte è riscontrabile in calcoli ridondanti e pesantissimi. Il vero re delle difficoltà di calcolo si è quasi sempre dimostrato il valore assoluto, specie quando si concatenano moduli dentro altri moduli (spingendo lo studente a effettuare tre casi diversi della stessa equazione per altrettanti sottoinsiemi del dominio, quando andava bene).
Lo so, infatti il valore assoluto è davvero una piaga.
Per chiunque non venga da uno scientifico, l'unico modo per dare una logica al valore assoluto è quello di fare sempre i casi (argomento$\ge 0$ e argomento$<0$). Occorre fare così perché altrimenti chiunque ho visto finisce per impararsi la derivata del modulo che è una cosa obbrobriosa e complica solo i calcoli.
Tanto vale portarsi 2 derivate piuttosto che qualcosa di orripilante che, in seguito, va comunque diviso in 2 casi.
Le derivate seconde, per riallacciarmi al topic, sono un vero incubo e l'unica ancora di salvezza è determinare i soli flessi tentando di annullare numeratori di frazioni algebriche sterminate.
E' possibile che alle nuove leve della scienza e della tecnica sia comunicato che la matematica è questo ammasso di calcoli senza un fine?
E' possibile che solo nello scientifico si vedono i grafici deducibili e moltissime altre scorciatoie - alcune veramente banali come $|x|=5$ che corrisponde a $x=\pm 5$ senza fare i casi del modulo - mentre in altre superiori no?
Il resto del messaggio lo avrei quotato senza aggiungere altro.
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