Domanda su Fondamenti di Geometria di Hilbert
Perchè Hilbert nella sua opera, Fondamenti di Geometria, non inserisce la proposizione che per un punto passano infinite rette, nè tra gli assiomi nè tra i teoremi da dimostrare?
Grazie a chi mi risponderà.
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Sono troppo pigro per andare a controllare sul testo... Quindi prendi con prudenza quanto scrivo!
Se non ricordo male, Hilbert tenta di costruire la geometria elementare del piano a partire da due dati: i punti e le rette; assieme ad altre proprietà che non ricordo nemmeno come si chiamano.
Il fatto è che non dice che considera infiniti punti\infinite rette; ti faccio un esempio scemo: il dato dei punti sia l'insieme \(\displaystyle\{A;B;C;D\}\) e il dato delle rette sia l'insieme \(\displaystyle\{\{A;B\};\{A;C\};\{A;D\};\{B;C\};\{B;D\};\{C;D\}\}\), in tal modo ottiene un piano della geometria elementare con finiti punti (\(\displaystyle4\)), finite rette (\(\displaystyle6\)) e per ogni punto passano finite rette (\(\displaystyle3\)).
Se non ricordo male, Hilbert tenta di costruire la geometria elementare del piano a partire da due dati: i punti e le rette; assieme ad altre proprietà che non ricordo nemmeno come si chiamano.
Il fatto è che non dice che considera infiniti punti\infinite rette; ti faccio un esempio scemo: il dato dei punti sia l'insieme \(\displaystyle\{A;B;C;D\}\) e il dato delle rette sia l'insieme \(\displaystyle\{\{A;B\};\{A;C\};\{A;D\};\{B;C\};\{B;D\};\{C;D\}\}\), in tal modo ottiene un piano della geometria elementare con finiti punti (\(\displaystyle4\)), finite rette (\(\displaystyle6\)) e per ogni punto passano finite rette (\(\displaystyle3\)).
"mario955":
Perchè Hilbert nella sua opera, Fondamenti di Geometria, non inserisce la proposizione che per un punto passano infinite rette, nè tra gli assiomi nè tra i teoremi da dimostrare?
Grazie a chi mi risponderà.
Non sono un esperto, ma alle considerazioni di j18eos mi sento di aggiungere che un "numero minimo" di rette passanti per un punto fisso è determinato dal "numero" di punti dello spazio e dalle proprietà di incidenza.
Ad esempio, se lo spazio inconsiderazione contiene più di due punti, dalle proprietà di incidenza:
1. Dati due punti distinti dello spazio, esiste almeno una retta che li contiene entrambi.
3. Su ogni retta giacciono almeno due punti distinti. Esistono almeno tre punti distinti che non giacciono sulla stessa retta.
segue che in un Geometria costruita à la Hilbert per un punto passano almeno due rette distinte... Ma probabilmente quasto risultato può essere migliorato.
Provo ad aggiungere, con grande umiltà davanti ai due giganti di Matematicamente che hanno scritto prima di me, che dall'assioma I 3 deriva che per ogni punto $P$ ne esistono altri due $Q$ e $R$ non allineati con esso, i quali determinano per l'assioma I 1 una retta \(\overline{QR}\).
Per il teorema 7 dell'edizione curata da Bernays, tra due punti di una retta stanno infiniti punti. Se l'assioma II 2 è formulato, come in tale edizione, in modo da dire che per ogni due punti $A$ e $C$, c'è sempre almeno un punto $B$, sulla retta \(\overline{AC}\), tale che $C$ giace fra $A$ e $B$, ciò si dimostra -cfr. teorema 4- a partire da esso e da quello di Pasch II 4, oltre agli assiomi di incidenza del gruppo I.
Per l'assioma I 1 si ha che per $P$ ed ogni punto degli infiniti punti che giacciono tra $Q$ e $R$ passa una retta ed ognuna è distinta dalle altre, altrimenti, per l'assioma I 2, sarebbe violata la non-collinearità di $P$ con \(\overline{QR}\). Quindi per ogni punto $P$ passano infinite rette.
Per giungere a questo risultato non ho usato assiomi dei gruppi successivi al secondo.
Spero di venire corretto se ho detto scemenze.
Ciao!
Per il teorema 7 dell'edizione curata da Bernays, tra due punti di una retta stanno infiniti punti. Se l'assioma II 2 è formulato, come in tale edizione, in modo da dire che per ogni due punti $A$ e $C$, c'è sempre almeno un punto $B$, sulla retta \(\overline{AC}\), tale che $C$ giace fra $A$ e $B$, ciò si dimostra -cfr. teorema 4- a partire da esso e da quello di Pasch II 4, oltre agli assiomi di incidenza del gruppo I.
Per l'assioma I 1 si ha che per $P$ ed ogni punto degli infiniti punti che giacciono tra $Q$ e $R$ passa una retta ed ognuna è distinta dalle altre, altrimenti, per l'assioma I 2, sarebbe violata la non-collinearità di $P$ con \(\overline{QR}\). Quindi per ogni punto $P$ passano infinite rette.
Per giungere a questo risultato non ho usato assiomi dei gruppi successivi al secondo.
Spero di venire corretto se ho detto scemenze.
Ciao!
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"DavideGenova":Io ne vedo solo uno...[/ot]
Provo ad aggiungere, con grande umiltà davanti ai due giganti di Matematicamente che hanno scritto prima di me...
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