Caccia alla funzione!

[Piera4]

Determinare una funzione $f: RR->RR$ CONTINUA e NON LIMITATA su $[0,+infty)$ tale che $int_0^(+infty)f(x)dx

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Risposte

clrscr

27 set 2007, 10:55

Potrebbe essere $e^(-x)$ ?

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Piera4

27 set 2007, 10:58

Scusate, intendevo continua e non limitata su $[0,+infty)$. Ora correggo!

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Camillo

27 set 2007, 11:53

$f(x) =0 $,per $x=0 $
$f(x) = 1/sqrt(x) $ per $ 0
$f(x) =1/x^2 $ per $ x > 1 $

Edit : azz, non va bene , non è continua in $ x=0 $

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rubik2

27 set 2007, 16:38

la funzione fatta dei triangolini costruiti su $n>=2$ come nel disegno e zero da tutte le altre parti. l'integrale viene la serie di $1/n^2$ che converge.

spero sia chiaro e giusto

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Piera4

27 set 2007, 17:36

Gran bella idea!
Io, invece, avevo pensato alla seguente funzione:
$f(x)=2x*senx^4$.
La funzione è non limitata e continua.
Inoltre, eseguento la sostituzione $x^2=t$, $2xdx=dt$, si ha
$int_0^(+infty)2x*senx^4dx=int_0^(+infty)sent^2dt < infty$ dato che è l'integrale di Fresnel.

Da notare come la mia funzione e quella di rubik siano integrabili senza essere infinitesime per $x->+infty$ (il limite di entrambe non esiste).
E' facile dimostrare che se $lim_(x->+infty)f(x)$ esiste allora per la convergenza di $int_0^(+infty)f(x)dx$ è necessario che $lim_(x->+infty)f(x)=0$, mentre se il limite non esiste nulla può dirsi.

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Piera4

27 set 2007, 18:04

Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione $f: RR->RR$ non identicamente nulla tale che $int_0^(+infty)f(x)dx=int_0^(+infty)[f(x)]^2dx

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_Tipper

27 set 2007, 18:05

Supponendo che converga (suppongo). In ogni caso basterebbe prendere la funzione identicamente nulla.

EDIT: ah ecco.

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Piera4

27 set 2007, 18:06

Già, aggiungo!

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rubik2

27 set 2007, 20:02

cerco di sfruttare l'idea di prima.

allora cerco $ainRR$ tale che $int_0^(a)kxdk=int_0^(a)k^2x^2dx$ con $kinRR$ integrando trovo $a=2/(3k)$

sinceramente non so proprio come scrivere la funzione. l'idea comunque è di mettere uno dopo l'altro triangoli di questo tipo:

nel primo fissiamo $k=1$ nel secondo $k=2^2$ ... nell'n-esimo $k=n^2$

per costruzione gli integrali di $f(x)$ e $[f(x)]^2$ sono uguali e l'area di ogni triangolo è $2int_0^(a)kxdk=4/(9k)$ l'integrale fino a $+oo$ di f(x) è la somma delle aree dei triagoli e siccome $k=1,4,...n^2$ abbiamo la serie di $4/(9n^2)$ che converge.

non è che mi piace molto sta soluzione (ammesso che sia giusta) ma questo è quello che mi è venuto

spero (di nuovo) che sia chiaro e corretto attendo conferma!


edit: non so perchè mi sono impicciato tanto! in realtà basterebbe il primo di quei triangoli di cui parlavo sopra. così è più evidente il trucco di ridurre l'integrale da $(0,+oo)$ ad uno al finito rendendo nulla la funzione da un certo punto in poi. è una soluzione banale?

se non è considerata banale magari riscrivo tutto per rendere più comprensibile

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zorn1

27 set 2007, 21:49

Intervengo solo per complimentarmi con Rubik per l'inventiva

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Piera4

27 set 2007, 22:06

Va bene, si può anche rendere nulla la funzione da un certo punto in poi.
Anch'io mi complimento con rubik!

Per inventare quest'esercizio mi sono avvalso del risultato:
$int_0^(+infty)(senx)/xdx=int_0^(+infty)(sen^2x)/x^2dx$.
Infatti, integrando per parti si ha
$int(sen^2x)/x^2dx=-(sen^2x)/x+int(sen2x)/xdx$, da cui
$int_0^(+infty)(sen^2x)/x^2dx=int_0^(+infty)(sen2x)/xdx=int_0^(+infty)(sent)/tdt$,
nell'ultimo passaggio ho eseguito la sostituzione $2x=t$.
Utilizzando l'analisi complessa si può anche calcolare il valore dell'integrale:
$int_0^(+infty)(senx)/xdx=pi/2$.

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Fioravante Patrone1

27 set 2007, 22:14

"Piera":Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione $f: RR->RR$ non identicamente nulla tale che $int_0^(+infty)f(x)dx=int_0^(+infty)[f(x)]^2dx
prendo $f=1$ fra $n$ e $n+1/(n^2007)$, il resto zero

mi pare funga

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G.D.5

27 set 2007, 22:29

"Piera": $int_0^(+infty)f(x)dx

Perdonate la mia ignoranza: una scrittura di questo tipo cosa significa?

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Piera4

27 set 2007, 22:36

In effetti, così com'è scritto l'esercizio è banale.
Comunque, mi preme precisare il fatto che esistono delle funzioni non nulle da un certo punto in poi che verificano la suddetta relazione.

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Piera4

27 set 2007, 22:38

@WiZaRd
significa che il valore dell'integrale è finito, cioè l'integrale converge.

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G.D.5

27 set 2007, 22:39

Grazie.

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rubik2

28 set 2007, 07:00

grazie per i complimenti

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[clrscr]

Potrebbe essere $e^(-x)$ ?

[Piera4]

Scusate, intendevo continua e non limitata su $[0,+infty)$. Ora correggo!

[Camillo]

$f(x) =0 $,per $x=0 $
$f(x) = 1/sqrt(x) $ per $ 0
$f(x) =1/x^2 $ per $ x > 1 $

Edit : azz, non va bene , non è continua in $ x=0 $

[rubik2]

la funzione fatta dei triangolini costruiti su $n>=2$ come nel disegno e zero da tutte le altre parti. l'integrale viene la serie di $1/n^2$ che converge.

spero sia chiaro e giusto

[Piera4]

Gran bella idea!
Io, invece, avevo pensato alla seguente funzione:
$f(x)=2x*senx^4$.
La funzione è non limitata e continua.
Inoltre, eseguento la sostituzione $x^2=t$, $2xdx=dt$, si ha
$int_0^(+infty)2x*senx^4dx=int_0^(+infty)sent^2dt < infty$ dato che è l'integrale di Fresnel.

Da notare come la mia funzione e quella di rubik siano integrabili senza essere infinitesime per $x->+infty$ (il limite di entrambe non esiste).
E' facile dimostrare che se $lim_(x->+infty)f(x)$ esiste allora per la convergenza di $int_0^(+infty)f(x)dx$ è necessario che $lim_(x->+infty)f(x)=0$, mentre se il limite non esiste nulla può dirsi.

[Piera4]

Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione $f: RR->RR$ non identicamente nulla tale che $int_0^(+infty)f(x)dx=int_0^(+infty)[f(x)]^2dx

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[_Tipper]

Supponendo che converga (suppongo). In ogni caso basterebbe prendere la funzione identicamente nulla.

EDIT: ah ecco.

[Piera4]

Già, aggiungo!

[rubik2]

cerco di sfruttare l'idea di prima.

allora cerco $ainRR$ tale che $int_0^(a)kxdk=int_0^(a)k^2x^2dx$ con $kinRR$ integrando trovo $a=2/(3k)$

sinceramente non so proprio come scrivere la funzione. l'idea comunque è di mettere uno dopo l'altro triangoli di questo tipo:

nel primo fissiamo $k=1$ nel secondo $k=2^2$ ... nell'n-esimo $k=n^2$

per costruzione gli integrali di $f(x)$ e $[f(x)]^2$ sono uguali e l'area di ogni triangolo è $2int_0^(a)kxdk=4/(9k)$ l'integrale fino a $+oo$ di f(x) è la somma delle aree dei triagoli e siccome $k=1,4,...n^2$ abbiamo la serie di $4/(9n^2)$ che converge.

non è che mi piace molto sta soluzione (ammesso che sia giusta) ma questo è quello che mi è venuto

spero (di nuovo) che sia chiaro e corretto attendo conferma!


edit: non so perchè mi sono impicciato tanto! in realtà basterebbe il primo di quei triangoli di cui parlavo sopra. così è più evidente il trucco di ridurre l'integrale da $(0,+oo)$ ad uno al finito rendendo nulla la funzione da un certo punto in poi. è una soluzione banale?

se non è considerata banale magari riscrivo tutto per rendere più comprensibile

[zorn1]

Intervengo solo per complimentarmi con Rubik per l'inventiva

[Piera4]

Va bene, si può anche rendere nulla la funzione da un certo punto in poi.
Anch'io mi complimento con rubik!

Per inventare quest'esercizio mi sono avvalso del risultato:
$int_0^(+infty)(senx)/xdx=int_0^(+infty)(sen^2x)/x^2dx$.
Infatti, integrando per parti si ha
$int(sen^2x)/x^2dx=-(sen^2x)/x+int(sen2x)/xdx$, da cui
$int_0^(+infty)(sen^2x)/x^2dx=int_0^(+infty)(sen2x)/xdx=int_0^(+infty)(sent)/tdt$,
nell'ultimo passaggio ho eseguito la sostituzione $2x=t$.
Utilizzando l'analisi complessa si può anche calcolare il valore dell'integrale:
$int_0^(+infty)(senx)/xdx=pi/2$.

[Fioravante Patrone1]

"Piera":Rilancio con il seguente esercizio:
determinare una funzione $f: RR->RR$ non identicamente nulla tale che $int_0^(+infty)f(x)dx=int_0^(+infty)[f(x)]^2dx
prendo $f=1$ fra $n$ e $n+1/(n^2007)$, il resto zero

mi pare funga

[G.D.5]

"Piera": $int_0^(+infty)f(x)dx

Perdonate la mia ignoranza: una scrittura di questo tipo cosa significa?

[Piera4]

In effetti, così com'è scritto l'esercizio è banale.
Comunque, mi preme precisare il fatto che esistono delle funzioni non nulle da un certo punto in poi che verificano la suddetta relazione.

[Piera4]

@WiZaRd
significa che il valore dell'integrale è finito, cioè l'integrale converge.

[G.D.5]

Grazie.

[rubik2]

grazie per i complimenti