Analisi matematica ai ragazzini
Salve, vorrei porre questa domanda...
Quali sarebbero secondo voi, i pro ed i contro se si insegnassero i rudimenti ( da un punto di vista intuitivo e concettuale )
di analisi matematica ai ragazzi ad esempio del primo anno di liceo...
Quali sarebbero secondo voi, i pro ed i contro se si insegnassero i rudimenti ( da un punto di vista intuitivo e concettuale )
di analisi matematica ai ragazzi ad esempio del primo anno di liceo...
Risposte
Aspetto risposte di chi è nell'ambito dell'insegnamento... Ma io inizio a dire che dipende da chi ti trovi difronte: se ti trovi davanti ragazzini molto intelligenti e molto motivati, sarà un' ottima cosa. Se invece hai a che fare con ragazzini a cui già non piace la matematica, finirai con il fargliela odiare ancor di più e non ci capirebbero niente.
Dipende da come hanno studiato matematica fin dall'aritmetica, nel senso che se hanno sempre usato il loro pensiero logico-matematico nella comprensione dei concetti, delle definizioni, dei teoremi, ecc. allora con molta probabilità avranno sviluppato delle buone capacità di ragionamento e non avranno problemi a seguire un corso "base" di analisi, purchè abbiano già nel loro bagaglio fondamenti come l'algebra elementare o la geometria cartesiana.
Diversamente se hanno già problemi con i succitati fondamenti o sono bravi solo perchè hanno "memorizzato" una valanga di nozioni matematiche alla rinfusa allora ti ritroverai di fronte ad una mandria di zombie famelici non appena avrai provato ad accenargli il concetto di limite
Tempo fa studiando un programma da attuare per il recupero in matematica di ragazzi della scuola secondaria di secondo grado avevo previsto di partire dalle equazioni, nella speranza che almeno il concetto di equivalenza o di espressione letterale lo avessero perfettamente compreso, facendo assistenza didattica in un doposcuola invece mi sono reso conto che l'unico modo di recuperarli è quello di ricominciare dall'addizione tra numeri naturali
Diversamente se hanno già problemi con i succitati fondamenti o sono bravi solo perchè hanno "memorizzato" una valanga di nozioni matematiche alla rinfusa allora ti ritroverai di fronte ad una mandria di zombie famelici non appena avrai provato ad accenargli il concetto di limite
Tempo fa studiando un programma da attuare per il recupero in matematica di ragazzi della scuola secondaria di secondo grado avevo previsto di partire dalle equazioni, nella speranza che almeno il concetto di equivalenza o di espressione letterale lo avessero perfettamente compreso, facendo assistenza didattica in un doposcuola invece mi sono reso conto che l'unico modo di recuperarli è quello di ricominciare dall'addizione tra numeri naturali
L'ideale sarebbe lavorare con l'analisi non standard, in cui il concetto di limite viene espresso per ultimo, dopo le derivate, ma è un terreno difficile da percorrere.
E come si farebbe? Dovrebbero imparare le derivate a memoria senza capire che sono il limite del rapporto incrementale?
Da (ex) studente a cui è stato insegnato qualcosa di analisi al primo anno di liceo (dal prof. di fisica), ti dico che secondo è troppo presto e hai troppo poco tempo.
Al primo anno difficilmente uno studente ha il livello di astrazione richiesto per capire l'analisi, puoi insegnargli a risolvere limiti, derivate ed integrali, ma li vedrà solo come esercizi "meccanici" e di calcolo.
Il problema in se è che ben pochi hanno chiaro il concetto di funzione, inteso come associazione di elementi tra insiemi (generici, ma penso che ci siano problemi anche sui vari insiemi numerici), per cui parlare di limiti, continuità e derivate resta una discussione teorica campata in aria, dove gli studenti che imparano velocemente i concetti senza farsi troppe domande riescono a barcamenarsi, quelli che invece devono capirli a fondo e farli propri pienamente (io sono di questo tipo) arrancano.
Al primo anno difficilmente uno studente ha il livello di astrazione richiesto per capire l'analisi, puoi insegnargli a risolvere limiti, derivate ed integrali, ma li vedrà solo come esercizi "meccanici" e di calcolo.
Il problema in se è che ben pochi hanno chiaro il concetto di funzione, inteso come associazione di elementi tra insiemi (generici, ma penso che ci siano problemi anche sui vari insiemi numerici), per cui parlare di limiti, continuità e derivate resta una discussione teorica campata in aria, dove gli studenti che imparano velocemente i concetti senza farsi troppe domande riescono a barcamenarsi, quelli che invece devono capirli a fondo e farli propri pienamente (io sono di questo tipo) arrancano.
Allora proprio per il motivo che sapo ha appena esposto io eviterei di inculcargli nozioni che vanno oltre il loro livello di comprensione, se non sono pronti per il concetto di limite allora non lo sono neanche per le derivate e per gli integrali.
Personalmente a me non piace insegnare nozioni matematiche se chi deve apprenderle non ha gli strumenti o le capacità per comprenderne il significato, imparare la matematica assimilandone le nozioni come fossero verità assolute non dimostrabili è secondo me un approccio completamente SBAGLIATO, è il motivo per cui la maggior parte degli studenti (mi verrebbe da dire quasi tutti) agli esami di ammisione per la facoltà di ingegneria nella sezione di matematica fanno pena.
Personalmente a me non piace insegnare nozioni matematiche se chi deve apprenderle non ha gli strumenti o le capacità per comprenderne il significato, imparare la matematica assimilandone le nozioni come fossero verità assolute non dimostrabili è secondo me un approccio completamente SBAGLIATO, è il motivo per cui la maggior parte degli studenti (mi verrebbe da dire quasi tutti) agli esami di ammisione per la facoltà di ingegneria nella sezione di matematica fanno pena.
"kobeilprofeta":
E come si farebbe? Dovrebbero imparare le derivate a memoria senza capire che sono il limite del rapporto incrementale?
E' un'obiezione interessante... ma infondata.
Storicamente i limiti sono arrivati 200 anni dopo le derivate.
Fino a cauchy tutti i matematici hanno continuato a utilizzare il concetto di infinitesimo, che in realtà non appartiene al campo dei numeri reali.
I fisici continuano a pensare usando gli infinitesimi ancora oggi.
La derivata non è il limite del rapporto incrementale, è un rapporto tra infinitesimi.
In un insieme numerico che non ammette gli infinitesimi, come il campo reale, bisogna ricorrere al concetto di limite (che è un surrogato del concetto di infinitesimo) del rapporto.
In un insieme numerico che ammette gli infinitesimi, come il campo iper-reale, la derivata è solo un rapporto di infinitesimi, così come l'avevano concepita newton e leibnitz.
Se ricordo bene, l'unico concetto che ha bisogno dei limiti anche in analisi non-standart, è la continuità
Se si potesse insegnare l'Analisi Non Standard al Liceo, sicuramente ne gioverebbe l'insegnamento della Fisica. Ma che altri pro può avere?
non saprei, ci sono pro e contro sia nell'analisi standard che in quella non standard
io continuo a ritenere che i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale siano intuitivi: derivate, integrali e continuità sono (sembrano) cose "intuitivamente" ovvie, la pendenza di una retta e una somma di termini piccoli che compongono una "figura" sono idee semplici
l'apparato matematico che ne garantisce la validità e che risolve tutte le situazioni dubbie è invece complicato.
anche perché sotto queste idee presunte semplici si nascondono concetti di grande profondità: la completezza, la convergenza delle serie di cauchy, i numeri irrazionali, i numeri trascendenti, ...
dopotutto i matematici hanno usato i numeri reali per più di duemila anni senza sapere esattamente cosa fossero...
l'analisi non-standard da una parte rimuove la necessità di quell'apparato macchinoso e contro-intuitivo che chiamiamo limiti, dall'altra nasconde trappole insidiose: la non continuità e non archimedeità della retta iper-reale, l'esistenza di numeri "più grandi di tutti gli altri" ma non rappresentabili, la necessità di introdurre assiomi aggiuntivi, in particolare lo "strano" assioma di soluzione...
una bella lotta...
dopotutto la vita è una continua e vana battaglia tra pro e contro...
io continuo a ritenere che i concetti fondamentali del calcolo infinitesimale siano intuitivi: derivate, integrali e continuità sono (sembrano) cose "intuitivamente" ovvie, la pendenza di una retta e una somma di termini piccoli che compongono una "figura" sono idee semplici
l'apparato matematico che ne garantisce la validità e che risolve tutte le situazioni dubbie è invece complicato.
anche perché sotto queste idee presunte semplici si nascondono concetti di grande profondità: la completezza, la convergenza delle serie di cauchy, i numeri irrazionali, i numeri trascendenti, ...
dopotutto i matematici hanno usato i numeri reali per più di duemila anni senza sapere esattamente cosa fossero...
l'analisi non-standard da una parte rimuove la necessità di quell'apparato macchinoso e contro-intuitivo che chiamiamo limiti, dall'altra nasconde trappole insidiose: la non continuità e non archimedeità della retta iper-reale, l'esistenza di numeri "più grandi di tutti gli altri" ma non rappresentabili, la necessità di introdurre assiomi aggiuntivi, in particolare lo "strano" assioma di soluzione...
una bella lotta...
dopotutto la vita è una continua e vana battaglia tra pro e contro...
Ricordo un numero del Bollettino dell'Unione Matematica Italiana di due-tre anni fa dedicato (non ricordo se in parte o era tutto il numero) all'insegnamento delle derivate senza fare uso dei limiti, mi sembra una cosa possibilissima, ricordo che lo lessi perché è un problema che si pone, anche a livelllo universitario, quando si insegna economia a studenti che non conoscono l'analisi, ad esempio studenti non della facoltà di economia, non so per studenti del liceo
Nella mia esperienza quando mi sono imbattuto nel vero studio di un'equazione differenziale in Analisi 2 all'università ho subito ripensato a quello che avevo studiato sulle equazioni differenziali alle superiori, la prima cosa che mi è venuta in mente è che avessi solo perso un mucchio di tempo per imparare qualcosa di superficiale e talvolta "inesatto".
Quello che penso oggi dell'analisi non standard è che sia solo un metodo per affrontare alcuni tra i casi più comuni con l'uso di strumenti "preconfezionati", che però non ti permette di affrontare la variabilità di un caso generale e soprattutto che non ti fa comprendere realmente quello che stai affrontando, è come saper guidare un'auto senza conoscere il funzionamento meccanico della frizione o dei freni a disco.
Il rischio è quello di creare più danni che benefici fissando nelle giovani menti una teoria che difficilmente potrà riallinearsi con i concetti che andranno a studiare all'università (se ci andranno), inoltre una forzatura del genere esula dall'obiettivo che si intende raggiungere con lo studio della matematica, ovvero quello di sviluppare il ragionamento autonomo.
Ah, questo ovviamente IMHO.
Quello che penso oggi dell'analisi non standard è che sia solo un metodo per affrontare alcuni tra i casi più comuni con l'uso di strumenti "preconfezionati", che però non ti permette di affrontare la variabilità di un caso generale e soprattutto che non ti fa comprendere realmente quello che stai affrontando, è come saper guidare un'auto senza conoscere il funzionamento meccanico della frizione o dei freni a disco.
Il rischio è quello di creare più danni che benefici fissando nelle giovani menti una teoria che difficilmente potrà riallinearsi con i concetti che andranno a studiare all'università (se ci andranno), inoltre una forzatura del genere esula dall'obiettivo che si intende raggiungere con lo studio della matematica, ovvero quello di sviluppare il ragionamento autonomo.
Ah, questo ovviamente IMHO.
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