Aiuto funzioni implicite
Potete dirmi in che modo si esegue questo tipo di esercizio?
PROVARE CHE L'EQUAZIONE
$f(x,y)=cos(x+2y)-sen(y)-e^(xy)$
DEFINISCE IMPLICITAMENTE $y=h(x)$ NELL'INTORNO DEL PUNTO $(0,0)$.
CALCOLARE INOLTRE $h'(0)$ e $h''(0)$
grazie mille anticipatamente.
PROVARE CHE L'EQUAZIONE
$f(x,y)=cos(x+2y)-sen(y)-e^(xy)$
DEFINISCE IMPLICITAMENTE $y=h(x)$ NELL'INTORNO DEL PUNTO $(0,0)$.
CALCOLARE INOLTRE $h'(0)$ e $h''(0)$
grazie mille anticipatamente.
Risposte
ma fanno parte di analisi 2?
"Algalord":
ma fanno parte di analisi 2?
eh si fa parte del programma di matematica 2 perche?
ciao allora per vedere se definisce implicitamente una funzione nell'intorno del punto devi verificare che:
$F(0,0)=0$ e $F_y(0,0)!=0$ a questo punto grazie a un teorema...teorema della funzione inversa... sai che esiste tale funzione $h$ e si dimostra che :
$h^{\prime} (0)=-((F_x(0,0))/(F_y(0,0)))$ e $h^{''}(0)=-((F_{x x}(0,0))/(F_{y y}(0,0)))$
ciao e a presto
$F(0,0)=0$ e $F_y(0,0)!=0$ a questo punto grazie a un teorema...teorema della funzione inversa... sai che esiste tale funzione $h$ e si dimostra che :
$h^{\prime} (0)=-((F_x(0,0))/(F_y(0,0)))$ e $h^{''}(0)=-((F_{x x}(0,0))/(F_{y y}(0,0)))$
ciao e a presto
"miuemia":
ciao allora per vedere se definisce implicitamente una funzione nell'intorno del punto devi verificare che:
$F(0,0)=0$ e $F_y(0,0)!=0$ a questo punto grazie a un teorema...teorema della funzione inversa... sai che esiste tale funzione $h$ e si dimostra che :
$h^{\prime} (0)=-((F_x(0,0))/(F_y(0,0)))$ e $h^{''}(0)=-((F_{x x}(0,0))/(F_{y y}(0,0)))$
ciao e a presto
la funzione $h$ sarebbe $-((F_x(0,0))/(F_y(0,0)))$ ?? oppure è un'altra?
no la funxzione $h$ non sai qual è!!! è definita implicitamente...
"miuemia":
no la funxzione $h$ non sai qual è!!! è definita implicitamente...
e come faccio a trovarla? puoi spiegarmi tutto?
in generale non si può trovare tale funzione, sai solo che esiste...
Puoi però trovare uno sviluppo in serie che approssimi la funzione.
"Camillo":
Puoi però trovare uno sviluppo in serie che approssimi la funzione.
potresti dirmi come fare? non ho molto capito questo argomento....
"PoppoGBR":
[quote="Camillo"]Puoi però trovare uno sviluppo in serie che approssimi la funzione.
potresti dirmi come fare? non ho molto capito questo argomento....[/quote]
come si fa lo sviluppo in serie? potresti dirmelo?
Lo sviluppo di Taylor di una funzione $h(x) $ vale : $h(x) = h(0) +h'(0)*x +h''(0)*x^2/2 +o(x^2 )$ .
Se hai calcolato i valori di $h'(0) , h''(0) $ li puoi inserire nella formula di Taylor e ottenere una approssimazione locale della funzione.
Mentre la formula data da miuemia per calcolare $h'(0) $ è senz'altro corretta , quella per ottenere $h''(0) $ non mi sembra giusta.
Se hai calcolato i valori di $h'(0) , h''(0) $ li puoi inserire nella formula di Taylor e ottenere una approssimazione locale della funzione.
Mentre la formula data da miuemia per calcolare $h'(0) $ è senz'altro corretta , quella per ottenere $h''(0) $ non mi sembra giusta.
si si c'era una $y$ di troppo... $h^{''}(0)=-((F_{x x}(0,0))/(F_{y}(0,0)))$
La formula più generale per ottenere la derivata seconda di $ h(x) $ è:
$h''(x) =( (F_(xx))- [h' ]^2F_(yy) )/F_y $ ; $ F_(xx) $ da intendersi derivata seconda rispetto ad x ( per ragioni incomprensibili non prende la doppia x ).
e $h'(x) = -F_x/F_y $
Nel caso dell'esercizio $F_x(0,0) = 0 ; F_y(0,0) = -1 $ quindi $ h'(0) = 0 $
$F_xx(0,0) = -1 ; F_(yy)(0,0) = -4 ; h'(0) = 0 $ e pertanto $h''(0) = 1 $ . stessa nota di sopra , derivata seconda rispetto ad x .
Ne segue che $h(x) = x^2/2 +o(x^2) $ .
$h''(x) =( (F_(xx))- [h' ]^2F_(yy) )/F_y $ ; $ F_(xx) $ da intendersi derivata seconda rispetto ad x ( per ragioni incomprensibili non prende la doppia x ).
e $h'(x) = -F_x/F_y $
Nel caso dell'esercizio $F_x(0,0) = 0 ; F_y(0,0) = -1 $ quindi $ h'(0) = 0 $
$F_xx(0,0) = -1 ; F_(yy)(0,0) = -4 ; h'(0) = 0 $ e pertanto $h''(0) = 1 $ . stessa nota di sopra , derivata seconda rispetto ad x .
Ne segue che $h(x) = x^2/2 +o(x^2) $ .
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