Teorema di Lioville sugli integrali elementari
Buongiorno, sto cercando informazioni su un teorema di Liouville del 1835 che indica un criterio per stabilire se una funzione sia integrabile o meno tramite funzioni elementari (esponenziali,logaritmi, funzioni trigonometriche). Su un libro di testo che lo accenna lo si definisce:
Questo teorema dimostrerebbe che funzioni quali exp[x^2] (la curva di Gauss), cos[x^2], sin[x^2], cos[x]/x non sono integrabili elementarmente. Mi servirebbero informazioni sul teorema (ipotesi, tesi e dimostrazione) in qualsiasi forma (se mi indicate una bibliografia sarebbe meglio comunque).
Cercando con google ho trovato altri teoremi di Liouville più importanti, ma riguardo a questo ho reperito solo questi due link:
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/presentazione/presentazione.pdf
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/tesi.pdf.
Si tratta di cose diverse oppure è l'enunciazione non semplificata della versione del teorema espressa dall'estratto?
11.1 Teorema (integrali elementari)
Siano p e q funzioni razionali definite su un intervallo I. Allora la funzione x-->q[x]exp[p[x]] è integrabile elementarmente su I se le soluzioni dell'equazione differenziale y'+py=q sono razionali su I.
Da Calcolo differenziale e integrale vol.1 di G.H. Greco
Questo teorema dimostrerebbe che funzioni quali exp[x^2] (la curva di Gauss), cos[x^2], sin[x^2], cos[x]/x non sono integrabili elementarmente. Mi servirebbero informazioni sul teorema (ipotesi, tesi e dimostrazione) in qualsiasi forma (se mi indicate una bibliografia sarebbe meglio comunque).
Cercando con google ho trovato altri teoremi di Liouville più importanti, ma riguardo a questo ho reperito solo questi due link:
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/presentazione/presentazione.pdf
http://poisson.phc.unipi.it/~bonacina/works/tesi/tesi.pdf.
Si tratta di cose diverse oppure è l'enunciazione non semplificata della versione del teorema espressa dall'estratto?
Risposte
Quella che hai trovato è una tesi triennale e io sconsiglio di prenderla in considerazione come fonte di informazioni. (Non perché conosca l'autore o la tesi, ma per aderire al principio di Abel: study the masters and not the pupils.)
Certo è materiale non molto discusso in giro. Tempo fa pure Fioravante Patrone fece una ricerca sull'argomento, qui:
post483431.html#p483431
e non trovò nulla oltre quella stessa tesi trovata da te. Prova a cercare nella bibliografia della tesi.
Certo è materiale non molto discusso in giro. Tempo fa pure Fioravante Patrone fece una ricerca sull'argomento, qui:
post483431.html#p483431
e non trovò nulla oltre quella stessa tesi trovata da te. Prova a cercare nella bibliografia della tesi.
Guardando tra la bibliografia ho visto che c'è la dimostrazione nell'articolo di Pessa e Rizzi nel periodico di matematica (quello della Mathesis) n.2 del 1990. Nei link del loro sito però non lo hanno, qualcuno sa come reperirlo?
Sposto nella sezione "Leggiti questo!" visto che la questione è ora la ricerca di un articolo. Scrivi per favore la citazione completa in modo da facilitare la ricerca agli altri utenti.
Grazie.
Grazie.
Ho contattato il sito e possono mandarmi una fotocopia dell'articolo. Però passando alla dimostrazione ho visto che contiene nozioni e simbologie quali i campi differenziali che non conosco. Mi potete indicare un libro di testo che mi aiuti ad introdurmi in questo contesto? Parlo da uno che frequenta l'università al primo anno: se ritenete che da analisi matematica I sia un salto molto grande ditemelo, così lascio perdere.
Lascia perdere.
Concentrati sulle cose davvero importanti dell'Analisi.
Ad esempio, se la materia ti interessa davvero, leggiti un buon libro per approfondire ciò che stai imparando: ad esempio, Rudin, Principles of Mathematical Analysis (o Principi di Analisi Matematica, nella rara traduzione italiana che forse potrai trovare in biblioteca), MacGraw-Hill.
Concentrati sulle cose davvero importanti dell'Analisi.
Ad esempio, se la materia ti interessa davvero, leggiti un buon libro per approfondire ciò che stai imparando: ad esempio, Rudin, Principles of Mathematical Analysis (o Principi di Analisi Matematica, nella rara traduzione italiana che forse potrai trovare in biblioteca), MacGraw-Hill.
Il problema è che volevo portare questo argomento per un esame orale e, ponderata ora l'arduità dell'impresa, inizio a pensare se sia meglio cambiarlo. Del fatto che il teorema in se sia un argomento secondario e specioso l'ho capito ormai.
Sempre sul calcolo degli integrali, potresti approfondire gli integrali razionali.
Ad esempio, c'è un teorema di Tchebichev sugli integrali binomi, ossia sugli integrali del tipo:
\[
\mathfrak{I}(p,r,s;a,b):=\int x^p (ax^r+b)^s\ \text{d} x \qquad \text{(} a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \text{ e } p,r,s\in \mathbb{Q}\text{),}
\]
che recita quanto segue:
ove razionalizzabile vuol dire, come al solito, "riconducibile all'integrale di una funzione razionale tramite opportuni accorgimenti".
L'articolo in cui si trova il teorema suddetto dovrebbe essere questo:
M.P. Tchebichev, Sur l'Intégration des Différentielles Irrationnelles, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, tome 18 (1853), p. 87-111.
Tuttavia l'articolo non l'ho ancora letto, quindi non so darti un'opinione precisa in merito alla difficoltà.
L'unica cosa che posso dirti di sicuro è che la parte difficile non è tanto mostrare che nelle tre eventualità elencate l'integrale \(\mathfrak{I}(p,r,s;a,b)\) è razionalizzabile, quanto mostrare che non lo è in tutti gli altri casi.
Ad esempio, c'è un teorema di Tchebichev sugli integrali binomi, ossia sugli integrali del tipo:
\[
\mathfrak{I}(p,r,s;a,b):=\int x^p (ax^r+b)^s\ \text{d} x \qquad \text{(} a,b\in \mathbb{R}\setminus \{0\} \text{ e } p,r,s\in \mathbb{Q}\text{),}
\]
che recita quanto segue:
L'integrale binomio \(\mathfrak{I}(p,r,s;a,b)\) è razionalizzabile se e solo se è intero almeno uno dei numeri:
\[
s,\qquad \frac{p+1}{r},\qquad s+\frac{p+1}{r}\; .
\]
ove razionalizzabile vuol dire, come al solito, "riconducibile all'integrale di una funzione razionale tramite opportuni accorgimenti".
L'articolo in cui si trova il teorema suddetto dovrebbe essere questo:
M.P. Tchebichev, Sur l'Intégration des Différentielles Irrationnelles, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, tome 18 (1853), p. 87-111.
Tuttavia l'articolo non l'ho ancora letto, quindi non so darti un'opinione precisa in merito alla difficoltà.
L'unica cosa che posso dirti di sicuro è che la parte difficile non è tanto mostrare che nelle tre eventualità elencate l'integrale \(\mathfrak{I}(p,r,s;a,b)\) è razionalizzabile, quanto mostrare che non lo è in tutti gli altri casi.
Non esiste una copia dell'articolo in italiano o inglese? Il francese non lo conosco.
È un articolo del 1853, pubblicato su un giornale francese... Quindi credo che non sia disponibile alcuna traduzione.
Ad ogni modo, il francese usato in questo genere di scritti è abbastanza "basic", quindi dovresti quasi poter tradurre all'impronta o aiutandoti con un dizionario on line.
Al massimo, creca qualche tuo collega che abbia studiato francese e fatti dare una mano.
Ad ogni modo, il francese usato in questo genere di scritti è abbastanza "basic", quindi dovresti quasi poter tradurre all'impronta o aiutandoti con un dizionario on line.
Al massimo, creca qualche tuo collega che abbia studiato francese e fatti dare una mano.
Segnalo che ho casualmente trovato un bel libretto di G.H. Hardy sull'argomento "integrazione indefinita":
The Integration of Functions of a Single Variable, Cambridge University Press, 1916.
Un grossissimo vantaggio di questo libro è che qualcuno si è preso la briga di farne una scansione e adesso circola in rete sotto forma di pdf.
The Integration of Functions of a Single Variable, Cambridge University Press, 1916.
Un grossissimo vantaggio di questo libro è che qualcuno si è preso la briga di farne una scansione e adesso circola in rete sotto forma di pdf.
Certo dissonance... Il signor Google si è preso la briga di scansionarlo, legalmente, e di divulgarlo in rete come ha fatto con moltissimi altri testi.
Il pdf ed il djvu si trovano cliccando i rispettivi link.
Per molti altri libri, si può consultare il legalissimo archive.org.
Il pdf ed il djvu si trovano cliccando i rispettivi link.
Per molti altri libri, si può consultare il legalissimo archive.org.
"gugo82":
Concentrati sulle cose davvero importanti dell'Analisi.
Hai pienamente ragione: magari io lo avessi capito prima. Intendo: se avessi capito prima che le cose che mi interessavano di più dell'analisi erano le meno importanti del settore, forse avrei capito prima che sono assai più adatto all'algebra.
La questione posta da 0nb0, infatti, per quel poco che ne so, mi sembra più algebrica che analitica.
"0nb0":
Il problema è che volevo portare questo argomento per un esame orale e, ponderata ora l'arduità dell'impresa, inizio a pensare se sia meglio cambiarlo. Del fatto che il teorema in se sia un argomento secondario e specioso l'ho capito ormai.
Se è secondario non lo so però mi sembra veramente oltre le tue conoscenze e capacità attuali.
Prova a dare un'occhiata qui: http://www.en.wikipedia.org/wiki/Differential_Galois_theory.
Ne riporto una parte:
In mathematics, differential Galois theory studies the Galois groups of differential equations.
Whereas algebraic Galois theory studies extensions of algebraic fields, differential Galois theory studies extensions of differential fields, i.e. fields that are equipped with a derivation, D. Much of the theory of differential Galois theory is parallel to algebraic Galois theory. One difference between the two constructions is that the Galois groups in differential Galois theory tend to be matrix Lie groups, as compared with the finite groups often encountered in algebraic Galois theory. The problem of finding which integrals of elementary functions can be expressed with other elementary functions is analogous to the problem of solutions of polynomial equations by radicals in algebraic Galois theory, and is solved by Picard–Vessiot theory.
L'argomento mi sembra molto interessante ma, come minimo, secondo me, dovresti conoscere la teoria di Galois tradizionale.
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