Polinomi

[GiacomoP93]

ciao!
in che libro potrei trovare secondo voi una teoria rigorosa che definisce in maniera rigorosa monomi e polinomi le operazioni che si possono eseguire su di essi e che tratta in maniera rigorosa la divisione tra polinomi?

[Luca9712]

Ciao Jack8929, mi sa che la sezione più opportuna è "Leggiti questo!". Per facilitare la risposta (magari ai moderatori) dovresti dire che classe fai e che tipo di scuola frequenti. Ariciao

[vict85]

[xdom="vict85"]Spostato in Leggiti questo![/xdom]

Come dice Luca97 sarebbe utile conoscere il livello di approfondimento ed astrazione che desideri. La divisione nei polinomi ha comunque ha descrizione del tutto analoga a quella dei numeri naturali.

[GiacomoP93]

il livello di approfondimento che desidero e quello universitario.. vorrei un testo che non ometta dimostrazioni, un testo che definisca le cose in maniera rigorosa e non richiamandosi all' intuizione, e che sviluppi la teoria dei polinomi in campo reale e complesso.. magari anche con qualcosa riguardo al teorema fondamentale dell' algebra e alla possibilita di scomporre un polinomio a coefficienti reali in fattori di primo e secondo grado..
grazie in anticipo!!

[vict85]

Ho visto che hai fatto tante domande simili. Ho l'impressione che tu abbia un visione della matematica ancora un po' ancorata alle superiori e al rigore in stile Euclide (che tra l'altro ha scritto un libro rigoroso solo in apparenza). Sempre che tu non sia ancora a tutti gli effetti alle superiori. La matematica non ha un fondamento ben determinato e soprattutto unico. Puoi partire da molte parti per arrivare ad un certo luogo. Spesso i matematici non si preoccupano troppo di quale fondamento usare perché si appoggiano su altre teorie, come possono essere la teoria degli insiemi. Perciò lasciano che di questioni fondazionali se ne occupino altri.

I polinomi in particolare sono uno di quegli argomenti fatti per secoli senza fornire un vero e proprio fondamento formale. Ora puoi vederli in vari modi a seconda di che branca della matematica vuoi considerare.

I polinomi posso essere visti come la somma diretta di un numero numerabile di copie di \(\displaystyle \mathbb{R} \), \(\displaystyle \mathbb{Q} \) o \(\displaystyle \mathbb{Z} \) su cui sono definite alcune operazioni (somma, prodotto, ecc.). Sia volendo come l'unico anello che rispetta una certa proprietà universale (è immediato verificare che le due definizioni sono equivalenti una volta che le capisci bene). Oppure ancora si può vedere come un particolare sottoinsieme delle serie formali.

Detto questo sono cose che spesso si trovano nei primi corsi di algebra dell'università. La divisione è comunque una semplice conseguenza dell'algoritmo euclideo.