Il fantastico mondo dei Frattali
Lavoro realizzato da Agnese Saraceni, Karen Piperni, Gian Marco Fina, Paola Flammini e Daiana Zauri del 4G del liceo scientifico "M.Vitruvio" di Avezzano (AQ).
Si ringrazia in particolare la professoressa di fisica e matematica Nadia Ciucci per l'esauriente spiegazione di un argomento così complesso e così affascinante!
LA GEOMETRIA FRATTALE: LE ORIGINI
Il mondo intero deve agli antichi greci un immenso tesoro teorico come la filosofia, la geometria e la logica. Euclide ci ha insegnato che con una retta si ha a che fare con una sola dimensione, con una superficie con due dimensioni e con un volume con tre dimensioni. Ma un albero quante dimensioni ha? E giusto parlare di tre dimensioni soltanto? E una nuvola? E le coste italiane oppure il contorno di un di una cellula?
Questa è una problematica che nasce già a dimensioni normali . E noto che per talune problematiche come GPS, navigazione marina ed aerea si è passati alla geometria non euclidea (ad esempio quella sferica), ma ci sono situazioni per cui neanche le geometrie note sono adeguate e bisogna rivolgersi alla geometria frattale.
Teoria dei frattali e proprietà
Benoit Mandelbrot è da considerarsi il padre della teoria dei frattali. Egli formalizzò le proprietà di queste figure, considerate prima di lui solo delle curiosità. Inizialmente la geometria frattale veniva esclusivamente considerata come curiosità, ma nessuno avrebbe immaginato che sarebbe diventata strumento di studi molto attuale. Proprio nel 1982 con il “The Fractal Geometry of Nature” venne “ufficializzata” come geometria, date le notevoli somiglianze che essa riportava con elementi naturali quali alberi, coste, nuvole.
In generale un frattale è un insieme che gode di una o più proprietà seguenti:
Autosomiglianza: è l'unione di copie di se stesso a scale differenti;
Struttura fine: il dettaglio dell’ immagine non cambia ad ogni ingrandimento;
Irregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; la funzione è ricorsiva ed irregolare localmente e globalmente.
Dimensione frattale: sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale.
La dimensione frattale misura quindi il grado di irregolarità di un oggetto, che può essere considerato in qualsiasi scala.
Frattali: gli elementi matematici
L idea di Haussdorff consiste nel calcolare quanti piccoli oggetti o unità di grandezza k sono necessari per coprire un oggetto più grande di grandezza P. Il rapporto P/k è il fattore di scala o la risoluzione.
E’ dimostrabile che esiste una relazione euclidea tra il rapporto lineare di similitudine r, la dimensione D dell’oggetto (dimensione di Haussdorff) e le N parti in cui l oggetto è suddividibile.
Nel caso di una retta
Retta (D = 1)
Supponiamo di avere una retta di lunghezza L = a e la dividiamo in N parti ognuna di lunghezza k; il che vuol dire che un singolo nuovo pezzetto di retta ha una lunghezza L = a/k e che N * a/k = a. Di conseguenza il rapporto lineare di similitudine tra lunghezze è:
r = L/L = a/a/k = N = k
Nel caso di un rettangolo
Superficie rettangolare con A=a*b (D = 2)
Se dividiamo per k entrambi i lati del rettangolo otteniamo un area minore
A =a/k * b/k = a * b/k^2. In questo caso le N parti ottenibili sono N=k*k=k^2. In
pratica abbiamo ottenuto N rettangolini più piccoli tutti uguali o autosomiglianti.
L area totale è A=a*b, per cui il rapporto di superficie che ci fornisce il rapporto lineare di similitudine r è:
r^2 = A/A = N = k^2
da cui: r = N1/2 = k
Il rapporto tra le aree lo possiamo quindi definire anche rapporto di auto somiglianza. .
Nel caso di un cubo
Parallelepipedo con V=a*b*c (D = 3)
Un analogo discorso lo possiamo fare con un parallelepipedo. Se dividiamo a, b e c per k otteniamo un volume V :
V = a/k * b/k * c/k = a*b*c * 1/k^3
Per cui il rapporto di volume che ci fornisce il rapporto lineare di similitudine r è:
r^3= V/V = N = k^3.
Da cui: r = N1/3 = k
N.B. Ci siamo fermati al cubo, ma un discorso di analogo genere può essere fatto anche per oggetti di dimensione superiore a 3.
… Filosofeggiando sui Frattali….
…La frattalità è un modo d'immaginare la forma del cosmo e la forma del fiume, dell'infinito e del finito...
Susan Condé
.....il libro della natura e' scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto…
UNO DEGLI ESEMPI PIU’ NOTI DI FRATTALE:
Il triangolo di Sierpinski o Gerla di Sierpinski o Triangolo di Pascal
Passo 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Se volessimo animare la sequenza otterremo il seguente risultato:
Dal triangolo di partenza si eliminano un numero 3^n di triangoli rovesciati con
n=0 e si ottiene la seconda figura. Dalla seconda figura si eliminano un numero
3^n di triangoli rovesciati con n=1 e si ottiene la terza figura. Dalla terza
figura si eliminano 3^n di triangoli rovesciati con n=2 e si ottiene la quarta figura. Se si va avanti con il procedimento si arriva facilmente alla figura 5.
Per ottenere il triangolo di Sierpinski usando le affinità si possono usare tre
trasformazioni, tenendo presente che l origine del sistema di riferimento è in
basso a sinistra del primo quadrato di partenza:
T1: ; T2: ; T3:
IL FRATTALE: APPLICAZIONE ALL’ECONOMIA
Certamente la geometria frattale ha profondamente mutato il volto della geometria. Ciò ha favorito anche l’applicazione dei frattali all’economia, portando alla nascita della FINANZA FRATTALE:
Per finanza frattale si intende l'applicazione di metodi, modelli e tecniche propri della geometria frattale all'analisi delle complesse dinamiche dei mercati finanziari; la concezione frattale della finanza si è evoluta nel corso dei decenni ad opera di Mandelbrot , in parallelo allo sviluppo dei frattali stessi. Tale applicazione ha portato in ambito economico alla lettura più rapida ed efficace di grafici finanziari.
Cosa sono i Frattali?
I frattali, con le loro forme misteriose e i loro splendidi colori, suscitano la nostra meraviglia e ci affascinano per la loro bellezza,rendendo la matematica meno paurosa e terrificante come ci spiega Emma Castelnuovo. Ma in realtà che cosa sono i frattali? Il termine frattale, dal latino fractus (rotto, spezzato),è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento i frattali fanno parte di quella branca della geometria che guarda più in là delle regole per disegnare un tavolo o una sedia, una geometria che ammette l’interrotto e l’irregolare e che riconosce gli algoritmi necessari per risolvere problemi posti dal caos. È dunque una geometria che ama il paradosso e la contraddizione, come nel caso della curva di koch, il cui perimetro è infinito mentre la sua area è un numero finito. Solo dal secolo precedente si è iniziato a parlare di frattali; nel 1975 Benoît Mandelbrot coniò il termine frattale e da li questi studi vennero estesi anche in altri campi(come quello dell’economia). Solo con l’avvento dei calcolatori, che hanno offerto la necessaria potenza di calcolo, si è potuti giungere alle affascinanti immagini generate dalle formule. Negli anni ottanta, si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. Uno dei frattali biomorfi più riuscito è la foglia di felce, i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura. In matematica, l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme (F) che abbia proprietà simili alle quattro elencate:
1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.
4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica: anche se i frattali possano essere rappresentati in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (dal latino fractus). In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
Benoît Mandelbrot
E’ stato un matematico polacco francese, noto per i suoi lavori sulla geometria frattale.
Nato in Polonia , ha vissuto in Francia per buona parte della sua vita.Nel 1936 la famiglia lasciò la Polonia stabilendosi a Parigi. A Parigi fu iniziato alla matematica dai suoi due zii, che contribuirono alla sua educazione e formazione, sia scientifica che umanistica. Nel 1939, si trasferì con la famiglia a Tulle, un paesino della Francia centrale, dove si diplomò nel 1942.
Educato in Francia, ha sviluppato la matematica di Gaston Julia e ha dato inizio alla rappresentazione grafica di equazioni su computer. Mandelbrot è il fondatore di ciò che oggi viene chiamata geometria frattale, e ha dato il proprio nome a una famiglia di frattali e a un particolare insieme detto insieme di Mandelbrot.
Mandelbrot scoprì il suo frattale quasi per caso, mentre conduceva degli esperimenti dell'IBM, dove, con l'aiuto della computer grafica, poté in seguito dimostrare che il lavoro di Julia del 1918 , poteva essere uno dei frattali più affascinanti; una delle numerose curiosità del frattale di Mandelbrot è che esso comprende, pur nella sua semplicissima formula, anche il frattale di Julia.
Oltre alla riscoperta dei frattali in matematica, dimostrò che essi possono essere la chiave di lettura delle forme presenti in natura, dando il via a una particolare sezione della matematica che studia la teoria del caos.
Frattali e natura
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.
Auto - similitudine e definizione ricorsiva
A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo:che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo .La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche: pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.
Dimensione frattale
La dimensione frattale è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.
Mandelbrot nel suo libro intitolato “Gli oggetti frattali” pubblicato nel 1975 afferma l’esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente:Si fa avanzare, lungo la costa un compasso di apertura prescritta e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell’apertura h moltiplicato per il numero di passi mi fornirà la lunghezza approssimativa della costa; tuttavia rendendo l’apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l'apertura tenderà a zero e la lunghezza tenderà all’infinito.
Ci sono molti tipi di frattali:
I Frattali Lineari
I frattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine, e quindi si ha un algoritmo di tipo lineare.
Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la fotocopiatrice a riduzioni.
Questa macchina funziona più o meno come una normale fotocopiatrice con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più lenti di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.
Le lenti possono essere predisposte secondo diversi fattori di riduzione e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi posizione. La figura può quindi essere spostata, allungata purché le varie trasformazioni risultino essere delle omotetie e isegmenti di retta dell'originale rimangano dunque segmenti di retta.
Il modo in cui l'immagine viene spostata e ridotta è determinato dall'algoritmo. Mediante un meccanismo di feedback l'immagine è elaborata ripetutamente, e tende via via a una forma frattale.
Frattali non lineari
Esistono diversi tipi di frattali non lineari, la cui equazione generatrice è di ordine superiore a 1.
Uno di questi si basa sulla trasformazione quadratica ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna teoria del caos. La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese Gaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la prima guerra mondiale.
Frattali Aleatori
Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario.
I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinito. All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.
Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.
Frattali: forme e storia
Benoit B. Mandelbrot, osservando la natura e descrivendone le forme e i processi, ha scoperto che la natura e la matematica sono accomunate da uno stesso metodo di ''costruzione e analisi della realtà'' che può essere definito e sviluppato in una nuova quanto rivoluzionaria scienza detta ''Geometria Frattale''. A differenza della geometria euclidea, che rappresenta il mondo con uno schema rigido incapace pertanto di raffigurare le forme dolci, armoniche e arrotondate della natura, la geometria dei frattali riesce a rappresentare le coste frastagliate, le nuvole, le galassie... tutto ciò che non è prevedibile né lineare!
Il frattale è una figura complessa di grande bellezza estetica, che può essere rappresentata grazie all'ausilio e alle potenzialità dei computer grafici, attraverso un'equazione matematica "iterativa", ossia che ritorna su se stessa, includendo il risultato ottenuto nella successiva equazione.
La particolarità dei frattali è quella di evidenziare, all'interno di uno stesso modello, una serie di modelli simili al modello di base, in modi sempre differenti, ma analoghi, su scala progressivamente più piccola o più vasta. Potremo dire, utilizzando una similitudine, che ogni frattale genera l'altro in una gestazione iterativa e infinita: un frattale è ciò che genera e ciò da cui è generato, così come l'uomo genera l'uomo e da questi è generato. Una prima somiglianza, dunque, sul piano ciclico e creativo, fra quella che è la regola base di un frattale e la legge fondamentale dell'esistenza umana: ogni elemento della specie è simile alla specie di appartenenza; la specie contiene il singolo e il singolo custodisce la specie, così come un frattale ripete le forme del frattale-madre e in ogni suo microscopico frammento è contenuto l'intero frattale-madre che da esso si riproduce.
Forma
Un'altra caratteristica di un frattale è la sua dimensione.
Quando Mandelbrot si pose la domanda di quanto fosse lunga la dimensione della costa della Gran Bretagna dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all'infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva, ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione, che chiamò "dimensione frattale".
Quando mi trovo davanti ad una scrittura con la sua forma curva/angolosa, pendente/rovesciata, ascendente/discendente, piccola/grande..., con il suo vibrante movimento o con una sua rigidità, con la sua sensibilità o con la forza che ne emerge: come non posso pensare che in quel gioco di forme e movimento non ci sia un frattale?
Un uomo in cui il comportamento non segue le leggi della linearità, perché è essere vivente inserito nella natura e soggetto quindi all'imprevedibilità e al caos, pur essendo nel contempo espressione di bellezza, di armonia e di equilibrio.
Si ringrazia in particolare la professoressa di fisica e matematica Nadia Ciucci per l'esauriente spiegazione di un argomento così complesso e così affascinante!
LA GEOMETRIA FRATTALE: LE ORIGINI
Il mondo intero deve agli antichi greci un immenso tesoro teorico come la filosofia, la geometria e la logica. Euclide ci ha insegnato che con una retta si ha a che fare con una sola dimensione, con una superficie con due dimensioni e con un volume con tre dimensioni. Ma un albero quante dimensioni ha? E giusto parlare di tre dimensioni soltanto? E una nuvola? E le coste italiane oppure il contorno di un di una cellula?
Questa è una problematica che nasce già a dimensioni normali . E noto che per talune problematiche come GPS, navigazione marina ed aerea si è passati alla geometria non euclidea (ad esempio quella sferica), ma ci sono situazioni per cui neanche le geometrie note sono adeguate e bisogna rivolgersi alla geometria frattale.
Teoria dei frattali e proprietà
Benoit Mandelbrot è da considerarsi il padre della teoria dei frattali. Egli formalizzò le proprietà di queste figure, considerate prima di lui solo delle curiosità. Inizialmente la geometria frattale veniva esclusivamente considerata come curiosità, ma nessuno avrebbe immaginato che sarebbe diventata strumento di studi molto attuale. Proprio nel 1982 con il “The Fractal Geometry of Nature” venne “ufficializzata” come geometria, date le notevoli somiglianze che essa riportava con elementi naturali quali alberi, coste, nuvole.
In generale un frattale è un insieme che gode di una o più proprietà seguenti:
Autosomiglianza: è l'unione di copie di se stesso a scale differenti;
Struttura fine: il dettaglio dell’ immagine non cambia ad ogni ingrandimento;
Irregolarità: non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche; la funzione è ricorsiva ed irregolare localmente e globalmente.
Dimensione frattale: sebbene possa essere rappresentato in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è necessariamente un intero; può essere una frazione, ma spesso anche un numero irrazionale.
La dimensione frattale misura quindi il grado di irregolarità di un oggetto, che può essere considerato in qualsiasi scala.
Frattali: gli elementi matematici
L idea di Haussdorff consiste nel calcolare quanti piccoli oggetti o unità di grandezza k sono necessari per coprire un oggetto più grande di grandezza P. Il rapporto P/k è il fattore di scala o la risoluzione.
E’ dimostrabile che esiste una relazione euclidea tra il rapporto lineare di similitudine r, la dimensione D dell’oggetto (dimensione di Haussdorff) e le N parti in cui l oggetto è suddividibile.
Nel caso di una retta
Retta (D = 1)
Supponiamo di avere una retta di lunghezza L = a e la dividiamo in N parti ognuna di lunghezza k; il che vuol dire che un singolo nuovo pezzetto di retta ha una lunghezza L = a/k e che N * a/k = a. Di conseguenza il rapporto lineare di similitudine tra lunghezze è:
r = L/L = a/a/k = N = k
Nel caso di un rettangolo
Superficie rettangolare con A=a*b (D = 2)
Se dividiamo per k entrambi i lati del rettangolo otteniamo un area minore
A =a/k * b/k = a * b/k^2. In questo caso le N parti ottenibili sono N=k*k=k^2. In
pratica abbiamo ottenuto N rettangolini più piccoli tutti uguali o autosomiglianti.
L area totale è A=a*b, per cui il rapporto di superficie che ci fornisce il rapporto lineare di similitudine r è:
r^2 = A/A = N = k^2
da cui: r = N1/2 = k
Il rapporto tra le aree lo possiamo quindi definire anche rapporto di auto somiglianza. .
Nel caso di un cubo
Parallelepipedo con V=a*b*c (D = 3)
Un analogo discorso lo possiamo fare con un parallelepipedo. Se dividiamo a, b e c per k otteniamo un volume V :
V = a/k * b/k * c/k = a*b*c * 1/k^3
Per cui il rapporto di volume che ci fornisce il rapporto lineare di similitudine r è:
r^3= V/V = N = k^3.
Da cui: r = N1/3 = k
N.B. Ci siamo fermati al cubo, ma un discorso di analogo genere può essere fatto anche per oggetti di dimensione superiore a 3.
… Filosofeggiando sui Frattali….
…La frattalità è un modo d'immaginare la forma del cosmo e la forma del fiume, dell'infinito e del finito...
Susan Condé
.....il libro della natura e' scritto in lingua matematica ed i suoi caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto…
UNO DEGLI ESEMPI PIU’ NOTI DI FRATTALE:
Il triangolo di Sierpinski o Gerla di Sierpinski o Triangolo di Pascal
Passo 0
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Passo 5
Se volessimo animare la sequenza otterremo il seguente risultato:
Dal triangolo di partenza si eliminano un numero 3^n di triangoli rovesciati con
n=0 e si ottiene la seconda figura. Dalla seconda figura si eliminano un numero
3^n di triangoli rovesciati con n=1 e si ottiene la terza figura. Dalla terza
figura si eliminano 3^n di triangoli rovesciati con n=2 e si ottiene la quarta figura. Se si va avanti con il procedimento si arriva facilmente alla figura 5.
Per ottenere il triangolo di Sierpinski usando le affinità si possono usare tre
trasformazioni, tenendo presente che l origine del sistema di riferimento è in
basso a sinistra del primo quadrato di partenza:
T1: ; T2: ; T3:
IL FRATTALE: APPLICAZIONE ALL’ECONOMIA
Certamente la geometria frattale ha profondamente mutato il volto della geometria. Ciò ha favorito anche l’applicazione dei frattali all’economia, portando alla nascita della FINANZA FRATTALE:
Per finanza frattale si intende l'applicazione di metodi, modelli e tecniche propri della geometria frattale all'analisi delle complesse dinamiche dei mercati finanziari; la concezione frattale della finanza si è evoluta nel corso dei decenni ad opera di Mandelbrot , in parallelo allo sviluppo dei frattali stessi. Tale applicazione ha portato in ambito economico alla lettura più rapida ed efficace di grafici finanziari.
Cosa sono i Frattali?
I frattali, con le loro forme misteriose e i loro splendidi colori, suscitano la nostra meraviglia e ci affascinano per la loro bellezza,rendendo la matematica meno paurosa e terrificante come ci spiega Emma Castelnuovo. Ma in realtà che cosa sono i frattali? Il termine frattale, dal latino fractus (rotto, spezzato),è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento i frattali fanno parte di quella branca della geometria che guarda più in là delle regole per disegnare un tavolo o una sedia, una geometria che ammette l’interrotto e l’irregolare e che riconosce gli algoritmi necessari per risolvere problemi posti dal caos. È dunque una geometria che ama il paradosso e la contraddizione, come nel caso della curva di koch, il cui perimetro è infinito mentre la sua area è un numero finito. Solo dal secolo precedente si è iniziato a parlare di frattali; nel 1975 Benoît Mandelbrot coniò il termine frattale e da li questi studi vennero estesi anche in altri campi(come quello dell’economia). Solo con l’avvento dei calcolatori, che hanno offerto la necessaria potenza di calcolo, si è potuti giungere alle affascinanti immagini generate dalle formule. Negli anni ottanta, si è sviluppata una branca della geometria frattale che studia i cosiddetti frattali biomorfi, cioè simili ad oggetti presenti in natura. Uno dei frattali biomorfi più riuscito è la foglia di felce, i cui dettagli riproducono sempre la stessa figura. In matematica, l'atteggiamento corrente è quello di considerare frattale un insieme (F) che abbia proprietà simili alle quattro elencate:
1) Autosimilarità: F è unione di un numero di parti che, ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F è unione di copie di se stesso a scale differenti.
2) Struttura fine: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.
3) Irregolarità: F non si può descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche.
4) Dimensioni di autosimilarità > della dimensione topologica: anche se i frattali possano essere rappresentati in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non è intera (dal latino fractus). In effetti la lunghezza di un frattale "piano" non può essere misurata definitamene, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.
Benoît Mandelbrot
E’ stato un matematico polacco francese, noto per i suoi lavori sulla geometria frattale.
Nato in Polonia , ha vissuto in Francia per buona parte della sua vita.Nel 1936 la famiglia lasciò la Polonia stabilendosi a Parigi. A Parigi fu iniziato alla matematica dai suoi due zii, che contribuirono alla sua educazione e formazione, sia scientifica che umanistica. Nel 1939, si trasferì con la famiglia a Tulle, un paesino della Francia centrale, dove si diplomò nel 1942.
Educato in Francia, ha sviluppato la matematica di Gaston Julia e ha dato inizio alla rappresentazione grafica di equazioni su computer. Mandelbrot è il fondatore di ciò che oggi viene chiamata geometria frattale, e ha dato il proprio nome a una famiglia di frattali e a un particolare insieme detto insieme di Mandelbrot.
Mandelbrot scoprì il suo frattale quasi per caso, mentre conduceva degli esperimenti dell'IBM, dove, con l'aiuto della computer grafica, poté in seguito dimostrare che il lavoro di Julia del 1918 , poteva essere uno dei frattali più affascinanti; una delle numerose curiosità del frattale di Mandelbrot è che esso comprende, pur nella sua semplicissima formula, anche il frattale di Julia.
Oltre alla riscoperta dei frattali in matematica, dimostrò che essi possono essere la chiave di lettura delle forme presenti in natura, dando il via a una particolare sezione della matematica che studia la teoria del caos.
Frattali e natura
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.
Auto - similitudine e definizione ricorsiva
A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.Una sostanziale differenza tra un oggetto geometrico euclideo ed un frattale è il modo in cui si costruisce. Una curva piana, infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una funzione del tipo:che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo .La costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un algoritmo. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola: la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale e dopo un certo numero di iterazioni l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche: pertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.
Dimensione frattale
La dimensione frattale è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.
Mandelbrot nel suo libro intitolato “Gli oggetti frattali” pubblicato nel 1975 afferma l’esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente:Si fa avanzare, lungo la costa un compasso di apertura prescritta e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell’apertura h moltiplicato per il numero di passi mi fornirà la lunghezza approssimativa della costa; tuttavia rendendo l’apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l'apertura tenderà a zero e la lunghezza tenderà all’infinito.
Ci sono molti tipi di frattali:
I Frattali Lineari
I frattali lineari sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine, e quindi si ha un algoritmo di tipo lineare.
Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la fotocopiatrice a riduzioni.
Questa macchina funziona più o meno come una normale fotocopiatrice con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più lenti di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.
Le lenti possono essere predisposte secondo diversi fattori di riduzione e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi posizione. La figura può quindi essere spostata, allungata purché le varie trasformazioni risultino essere delle omotetie e isegmenti di retta dell'originale rimangano dunque segmenti di retta.
Il modo in cui l'immagine viene spostata e ridotta è determinato dall'algoritmo. Mediante un meccanismo di feedback l'immagine è elaborata ripetutamente, e tende via via a una forma frattale.
Frattali non lineari
Esistono diversi tipi di frattali non lineari, la cui equazione generatrice è di ordine superiore a 1.
Uno di questi si basa sulla trasformazione quadratica ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna teoria del caos. La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese Gaston Julia, che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la prima guerra mondiale.
Frattali Aleatori
Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un triangolo giacente su un piano arbitrario.
I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun punto medio è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinito. All’aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una legge di distribuzione che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.
Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell’erosione del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di faglia. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.
Frattali: forme e storia
Benoit B. Mandelbrot, osservando la natura e descrivendone le forme e i processi, ha scoperto che la natura e la matematica sono accomunate da uno stesso metodo di ''costruzione e analisi della realtà'' che può essere definito e sviluppato in una nuova quanto rivoluzionaria scienza detta ''Geometria Frattale''. A differenza della geometria euclidea, che rappresenta il mondo con uno schema rigido incapace pertanto di raffigurare le forme dolci, armoniche e arrotondate della natura, la geometria dei frattali riesce a rappresentare le coste frastagliate, le nuvole, le galassie... tutto ciò che non è prevedibile né lineare!
Il frattale è una figura complessa di grande bellezza estetica, che può essere rappresentata grazie all'ausilio e alle potenzialità dei computer grafici, attraverso un'equazione matematica "iterativa", ossia che ritorna su se stessa, includendo il risultato ottenuto nella successiva equazione.
La particolarità dei frattali è quella di evidenziare, all'interno di uno stesso modello, una serie di modelli simili al modello di base, in modi sempre differenti, ma analoghi, su scala progressivamente più piccola o più vasta. Potremo dire, utilizzando una similitudine, che ogni frattale genera l'altro in una gestazione iterativa e infinita: un frattale è ciò che genera e ciò da cui è generato, così come l'uomo genera l'uomo e da questi è generato. Una prima somiglianza, dunque, sul piano ciclico e creativo, fra quella che è la regola base di un frattale e la legge fondamentale dell'esistenza umana: ogni elemento della specie è simile alla specie di appartenenza; la specie contiene il singolo e il singolo custodisce la specie, così come un frattale ripete le forme del frattale-madre e in ogni suo microscopico frammento è contenuto l'intero frattale-madre che da esso si riproduce.
Forma
Un'altra caratteristica di un frattale è la sua dimensione.
Quando Mandelbrot si pose la domanda di quanto fosse lunga la dimensione della costa della Gran Bretagna dimostrò che la lunghezza dei vari tratti poteva continuare all'infinito scendendo su una scala sempre più piccola e non trovò una risposta definitiva, ma riuscì a definire un numero compreso tra 1 e 2 che identificava il frastagliamento della costa. Più la linea della costa era frastagliata e più questo numero frazionario si avvicinava a 2. Mandelbrot dimostrò che questo numero conteneva delle proprietà di una dimensione, che chiamò "dimensione frattale".
Quando mi trovo davanti ad una scrittura con la sua forma curva/angolosa, pendente/rovesciata, ascendente/discendente, piccola/grande..., con il suo vibrante movimento o con una sua rigidità, con la sua sensibilità o con la forza che ne emerge: come non posso pensare che in quel gioco di forme e movimento non ci sia un frattale?
Un uomo in cui il comportamento non segue le leggi della linearità, perché è essere vivente inserito nella natura e soggetto quindi all'imprevedibilità e al caos, pur essendo nel contempo espressione di bellezza, di armonia e di equilibrio.
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