Geometria differenziale e topologia per fisici

[GabrFloyd]

Salve ragazzi, come da titolo sono uno studente di fisica (alla magistrale) e dopo aver studiato relativita generale volevo approfondire un poco geometria differenziale e topologia in maniera più formale e perciò volevo chiedervi qualche consiglio! Avevo visto i 3 libri di dubrovin e fomenko, che mi sembra diano anche un po' di applicazioni...voi che dite?

[j18eos]

"GabrFloyd":...Avevo visto i 3 libri di dubrovin e fomenko, che mi sembra diano anche un po' di applicazioni...voi che dite?

Ti sei dimenticato il terzo autore: Novikov!

Sono tre ottimi testi, i primi due mi sono serviti per superare l'esame col prof. Dubrovin

Il grosso guaio, almeno per noi matematici puri, è che essi definiscono le cose mediante i "calcoli"[nota]Epatici, renali, e.o.[/nota]; che io ricordi non parte dalla topologia generale, e testi di topologia per fisici non ne conosco

[Emar1]

Non sono assolutamente un esperto, anzi, sto studiando un po' di geometria differenziale per conto mio. Tuttavia di libri ne ho sfogliati e valutati veramente tanti.

Se già mastichi qualcosa e soprattutto se sei un fisico ti consiglierei innanzi tutti il mitico Bishop, Golberg "Tensor Analysis on Manifolds" (link). Lo stile è un po' vecchiotto, ma per 10 euro è un affare.

Come corso completo, molto ricco ed esauriente ti consiglio i libri di J. M. Lee, nell'ordine "Topological Manifolds", "Smooth Manifolds" e "Riemmannian Manifolds".

Poi dipende cosa sai già e soprattutto che taglio vuoi seguire. Questa lista può esserti utile: http://www.topology.org/tex/conc/differ ... books.html

Se specifichi un po' meglio cosa cerchi nello specifico si riuscirà ad indirizzarti meglio

PS Hai dato un occhio anche a Misner, Thorne, Wheeler "Gravitation"?

[redlex91-votailprof]

Prova a sfogliare Geometry, Topology and Physics - Mikio Nakahara oppure un libro di GR carino che dà un po' di spazio alla geometria differenziale, e che presuppone che tu abbia già qualche conoscenza di algebra multilineare, è General Relativity - N. Straumann, nello specifico: tutta la terza parte (capp. da 11 a 16 e appendici A, B, C, D) e riferimenti bibliografici. B. Dubrovin ha scritto anche delle dispense di geometria differenziale: qui.

P.S. - molto ot
[ot]Misner, Thorne, Wheeler presentano la matematica a livello moooooooolto intuitivo...

The mathematician usually begins his development of differential topology by introducing some very primitive concepts, such as sets and topologies of sets, by building a fairly elaborate framework out of them, and by then using that framework to define the concept of a differentiable manifold. But most physicists are satisfied with a more fuzzy, intuitive definition of manifold: roughly speaking, an \(n\)-dimensional differentiable manifold is a set of "points" tied together continuously and differentiably, so that the points in any sufficiently small region can be put into a one-to-one correspondence with an open set of points of $\mathbb{R}^n$. [$\mathbb{R}^n$ is the number space of $n$ dimensions, i.e., the space of ordered $n$-tuples \((x_1, x_2,\dots , x_n)\).] That correspondence furnishes a coordinate system for the neighborhood.

che forse (ma non ne sono tanto convinto) quando costoro hanno scritto il libro poteva anche andar bene... oggi "most physicists are satisfied with" una definizione del genere [Straumann, General Relativity]:

A manifold is a topological space which locally looks like the space \(\mathbb{R}^n\) with the usual topology.
Def. 11.1 An \(n\)-dimensional topological manifold \(\mathfrak{M}\) is a topological Hausdorff space with a countable base, which is locally homeomorphic to \(\mathbb{R}^n\) . This means that for every point \(p\in \mathfrak{M}\) there is an open neighborhood \(U\) of \(p\) and a homeomorphism
\[
h\colon U\to U'
\]
which maps \(U\) onto an open set \(U'\subset\mathbb{R}^n\).

e poi si arriva a definire una varietà diff. come saprai meglio di me. Scusa la puntualizzazione ma altrimenti poi viene da pensare che i fisici vivano ancora nell'Età della pietra [/ot]

[j18eos]

Super OT[ot]Il mio relatore (di tesi magistrale) è un laureato (quadriennale) in fisica, con una tesi in fisica matematica; interessandosi alla teoria delle stringhe è divenuto un geometria algebrico di primo ordine.

Faccio alcuni "nomi" dell'ambiente geometria\fisica matematica: Bruzzo, Dąnbrowski, Faltings, Göttsche, Landi, Seiberg, Tanzini, Tikhomirov e Witten! Tutti laureati in fisica, che si occupano di matematica; Faltings e Witten sono anche medaglie Fields...[/ot]

[Emar1]

"friction":
Misner, Thorne, Wheeler presentano la matematica a livello moooooooolto intuitivo...

Scusa la puntualizzazione ma altrimenti poi viene da pensare che i fisici vivano ancora nell'Età della pietra

Non ho mai sfogliato quel libro, l'ho solo sentito nominare sui forum, pensavo fosse esaustivo per la parte di geometria quanto, ad esempio, i primi capitoli dell'Abraham-Marsden (genuflessione prego) ma con un taglio più concreto... Ma se mi dici così direi che proprio non va bene

Nemmeno io tra l'altro sono un matematico, sono una sorta di ibrido Però posso dire che adoro i libri per matematici, cioè, un minimo di intuizione fisica ci vuole sempre, ma poi godo nel vedere le costruzioni astratte con formalismo intrinseco. A molti altri "non-puramente-matematici" come me e te, invece, non piace la costruzione troppo astratta e magari preferiscono sporcarsi le mani con le coordinate e indici. In questo senso consigliavo ad esempio il Bishop-Goldberg, ma non è assolutamente poco serio o formale

[GabrFloyd]

Grazie a tutti dei vostri consigli! Non ho un'idea precisa di cosa approfondire a dire il vero, quindi la domanda e' stata molto generica appositamente... Seguirò i vostri consigli magari partendo da testi più di di base anche se il nakahara sembra davvero interessante!