Fixed point theorem.

[John Von Neumann]

Salve
leggendo degli appunti da internet ho trovato scritto che esistono dei teoremi detti "di punto fisso" che sono usati per risolvere equazioni differenziali ,inoltre sono usati in teoria dei giochi e , mi sono accorto , solitamente vengono associati all' analisi funzionale non lineare...ma non capiso il perche' (piu' precisamente li ho letti in degli appunti di analisi convessa).Potete dirmi dove leggere qualcosa di introduttivo all' argomento ,mirato alla comprensione piu' che all' approfondimento.Alcuni testi di analisi funzionale riportano brevemente qualche teorema di punto fisso,senza dimostrazione,il testo di Miranda...scritto davvero bene, non li nomina proprio.Per le dimostrazioni dove posso guardare?
Inoltre se conoscete qualche testo/dispensa che tratti delle applicazioni alle equazioni e alla tdg meglio ancora.Grazie

[poncelet]

Sul Pagani-Salsa (Analisi Matematica Vol. 2) trovi il teorema di Banach-Caccioppoli che si utilizza per dimostrare il Teorema di esistenza ed unicità locali per la soluzione di un Problema di Cauchy

[hamming_burst]

[SP (Solo Per)]
I teoremi di punto-fisso si trovano in molti campi della matematica non solo nell'Analisi, es. in Algebra, in Informatica, ed hanno un'importanza enorme!!

[/SP]

[John Von Neumann]

Ho intuito la loro importanza......soprattutto come ponte tra topologia e analisi, anche se probabilmente la panoramica che li riguarda è molto piu' ampia.Qualche informazione riguardo alle mie precedenti domande?Ho trovato un testo della Springer:
Fixed Point Theorem
Granas, Andrzej, Dugundji, James.
Che ne pensate? Sapete se è un testo eccessivamente complicato? Grazie.

[vict85]

Dipende da quali sono le tue conoscenze di partenza. Se tu hai qualche base di topologia e di analisi funzionale non dovresti avere particolari problemi, anche perché c'è un veloce ripasso alla fine del libro (se non li conosci quel veloce ripasso è probabilmente sia troppo difficile che troppo sintetico). Un po' di topologia algebrica penso possa essere utile ed esplicitamente richiesto per gli ultimi capitoli. A occhio mi sembra abbia una impostazione graduate (uso l'inglese perché in Italia il livello dei libri undergraduate è leggermente superiore e non è raro, negli ultimi anni della triennale, di prendere un libro graduate per studiarci sopra) ma non troppo difficile. Tutto sommato una impostazione classica a cui i matematici sono abbastanza abituati e una trattazione non troppo moderna.

[Fioravante Patrone1]

Se vuoi, qui trovi un riferimento all'uso dei teoremi di punto fisso in TdG (teorema di esistenza di un equilibrio di Nash):
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... /index.htm
o, direttamente, qui:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... kutani.pdf

Tra l'altro, proprio von Neumann, già nel '37, userà la tecnica che poi sarà usata da Nash:
Neumann, J. von, "Uber ein okonomisches Gleichungssystem und eine Verallgemeinerung
des Brouwerschen Fixpunktsatzes," Ergebnisse eines Mathematischen
Kolloquiums, 8, 73-83 (1937), (translated in Rev. Economic Studies, XIII, No. 33, 1-9
(1945-46)).