Bibbia teoria degli insiemi
Buongiorno a tutti
dopo aver studiato la teoria degli ingenua degli insiemi in matematica discreta e la teoria assiomatica ZF(C) in algebra, voglio di più.
Quello che cerco (che non so se esista) è un libro che affronti i maggiori modelli della teoria degli insiemi (ZF, ZFC, NBG, GT) come linguaggi logici, e che li sviluppi motivando a livello logico (es. con i teoremi di goedel) il perchè un modello è "meglio" di quello precedente/concorrente.
Non è negativo se si va verso le categorie (ma non è un requisito necessario).
Grazie per l'aiuto
dopo aver studiato la teoria degli ingenua degli insiemi in matematica discreta e la teoria assiomatica ZF(C) in algebra, voglio di più.
Quello che cerco (che non so se esista) è un libro che affronti i maggiori modelli della teoria degli insiemi (ZF, ZFC, NBG, GT) come linguaggi logici, e che li sviluppi motivando a livello logico (es. con i teoremi di goedel) il perchè un modello è "meglio" di quello precedente/concorrente.
Non è negativo se si va verso le categorie (ma non è un requisito necessario).
Grazie per l'aiuto
Risposte
Non so se esista un riferimento unico e universale, e dubito fortemente sia così (specie dal momento che ci sono anche sviluppi piuttosto recenti in materia) però puoi trovare un elenco di testi molto interessante qui per quel che riguarda il materiale "classico". Se sei interessato a teorie degli insiemi più "esotiche" (da quelle costruttive a quelle strutturali, col continuo di teorie intermedie) e recenti, sviluppate per questa o quella ragione, puoi trovare un quadro approssimativo della situazione attuale leggendo qui (e seguendo alcuni link che trovi in quella pagina) per poi fare ricerche specifiche se trovi un argomento che ti risulta interessante.
Quoto in toto Epimenide93, e poi "sai quante teorie assiomatiche esistono?" "tante, troppe!", ciascuna (a dire il vero non tutte) ha anche una sua "estensione" con ur-elements.. quindi non penso sia utile conoscerle tutte, ti posso per gli studi da autodidatta dire i testi che ho usato. A lezione il docente non fece alcuna introduzione alla teoria degli insiemi, accennò al paradosso che si veniva a creare con l'insieme di Russell; quando cercai di capire tale paradosso non riuscivo a venire a galla, troppe cose mancanti come la logica matematica e delle buone definizioni di determinate scritture insiemistiche. Da solo in primis ho cercato di capirci qualcosa studiando logica di base dagli appunti di G. Lolli e Ciraulo, successivamente inciampai per caso sul lavoro C. Marchini: La teoria alternativa degli insiemi sue ragioni e confronto con teorie classiche - 1990 ma buttarmi così su due piedi nell'assiomatica non è stato geniale, allora ho usato il classico P. R. Halmos: Naive Set Theory ma era troppo semplice e da solo notavo parecchie ambiguità e imprecisioni, allora mi sono spinto un po oltre consultando le prime pagine di G. Lolli: Guida alla Teoria degli Insiemi scoprendo un mondo nuovo. Dopo aver letto sul Lolli sono partito avendo come testo di riferimento P. Suppes: Axiomatic set theory (testo che consulto ancora ora), un buon testo (soprattutto i capitolo iniziali) ma notavo che mi sfuggiva qualcosa ergo ho preferito consultare nei primi capitoli parallelamente Thomas J. Jech: Set Theory 3rd Edition e K. Hrbacek, T. J. Jech: Introduction to set theory imparando ulteriormente il concetto di classe e tante cosine & cosette. Per (r)affinare ancora meglio i concetti consultai sempre nei primi capitoli K. Kunen: Set Theory An Introduction To Independence Proofs (una bomba con gli ultimi due)... Concluso lo studio basilare, cioè quello che mi serviva per affrontare analisi e algebra (ovvero poco o meglio pochissimo di tutta la teoria degli insiemi) notai che la maggior parte dei testi di algebra (e pochi testi di analisi) non avevano affatto un approccio in cui "tutto è insieme" anzi moolte definizioni erano, come disse una volta gugo82, "naive" quindi mi trovavo a non potere applicare la teoria assiomatica degli insiemi a quanto andavo studiando... e siccome (per come la penso io) la teoria degli insiemi con la logica sono diventate per me una droga dalla quale difficilmente riesco a separarmi, cosa ho fatto? Ho scoperto che esistono delle alternative insiemistiche in cui è possibile vedere "non tutto come insieme" con il concetto (primitivo) di ur-elemento! Credimi, "l'universo" che si aperto era più grande di quello ove tutto era insieme e come inizio consultavo gli scritti di Christopher Menzel (focalizzati maggiormente su ZFCU, esistono anche scritti su NGBU) anche se Suppes nelle prime pagine del testo accenna ad un sua teoria di questo tipo definendo un concetto di insiemi (avevo trovato un articolo di Suppes in cui presentava questa sua teoria molto più utile e interessante dell'assiomatica di ZFCU o NGBU), in seguito consultai tanti altri scritti in merito ma non ricordo quali. Morale, cosa mi è rimasto? Nulla, a dire il vero poco... personalmente notai che non mi serve, a me studente di fisica, molto un approccio assiomatico alla teoria degli insiemi, molti assiomi li ho posti come definizioni (tranne alcuni), e che per capirci a fondo qualcosa come coerenza (in)completezza, estensione e tante altre cose dovevo avere in primis ottime basi di logica matematica e teoria dei modelli (basi che non ho, volevo averle con il testo A. Robinson: INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI MODELLI E ALLA METAMATEMATICA DELL'ALGEBRA ma non avevo il tempo e meno male 
); ciò che mi è rimasto di più è l'elasticità mentale, e poi mi piace pensare/studiare la teoria degli insiemi aldilà di un assetto assiomatico, è più divertente e interessante
A te la decisione!
); ciò che mi è rimasto di più è l'elasticità mentale, e poi mi piace pensare/studiare la teoria degli insiemi aldilà di un assetto assiomatico, è più divertente e interessanteA te la decisione!
Grazie per le risposte
spiego meglio il mio background
ad informatica in Bicocca al primo anno c'è il corso di Fondamenti (matematici) dell'informatica (tenuto da un informatico specializzato in logica matematica=ì). Questo corso è diviso in due parti. Nella prima si parla della amtematica discreta (teoria ingenua degli insiemi, funzioni e relazioni, ordini, reticoli, alberi e grafi, algebre di boole, induzione) nella seconda invece di logica matematica (logica proposizionale e predicativa, parlando anche dei teoremi di goedel).
Già durante il corso mi interessai della teoria degli insiemi (il paradosso di Russel fu veramente un'esperienza esoterica), ma preso dagli altri esami lasciai un poi li la materia.
Qualche mese fa ho iniziato a studiare algebra per conto mio sul libro Bosch - algebra. Qui si parte direttamente dai gruppi, dando per scontato tutta la parte su insiemi, fuzioni e relazioni. Siccome però alla magistrlale voglio passare a matematica, per l'anno prossimo pensavo di iscrivermi ai corsi singoli di algebra I e algebra II della statale di Milano, per certificare le mie conoscenze. Nel programma di algebra I c'è un pezzo sulla teoria ZF, che non era presente nel libro che avevo usato io. Ho quindi fatto una spedizione in biblioteca, portando a casa il libro del prof del corso (Barbieri viale). Nei primi capitoli tratta la teoria assiomatica ZF degli insiemi, accennando poi in un appendice l'universo di Grothendieck. Cercando di più sull'argomento ho scoperto molte teorie insiemistiche, e quello che cercavo era un libro che mi fornisse un filo conduttore per espandere le mie conoscenze in questa materia.
Leggendo le vostre risposte e i link che avete postato, penso di procedere in questo modo:
1) espandere le mie conoscenze di ZF(C) con :
- Suppes Axiomatic Set Theory
- Karel Hrbacek and Thomas Jech, Introduction to Set Theory
2) Mettere nel contesto storico ZFC, iniziando a sviluppare altre teorie insiemistiche
- Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel and Azriel Levy, Foundations of Set-Theory
3) Cercare materiale sulle teorie insiemistiche che mi interesserà approfondire (Sicuramente pernso NBG, GT, e le versioni con Ur)
Come inizio penso basti, dovrebbe darmi argomenti da approfondire fino almeno la fine della magistrale
Neanche a me serve direttamente la materia (penso di andare verso la fisica matematica alla magistrale, che mi permette di tenere i piedi in quasi tutte le scarpe della matematica), ma è interessante come argomento, ti fa veramente pensare cosa è la matematica e su cosa si fonda, di solito tutte queste cose vengono date per scontate in un qualunque corso matematico che non le riguardi direttamente (non penso che di aver mai sentito nessuno / letto nessun libro che parlando di algebra lineare dice che la possibilità di creare una base da uno spazio vettoriale derivi direttamente dall'assioma della scelta ad esempio).
spiego meglio il mio background
ad informatica in Bicocca al primo anno c'è il corso di Fondamenti (matematici) dell'informatica (tenuto da un informatico specializzato in logica matematica=ì). Questo corso è diviso in due parti. Nella prima si parla della amtematica discreta (teoria ingenua degli insiemi, funzioni e relazioni, ordini, reticoli, alberi e grafi, algebre di boole, induzione) nella seconda invece di logica matematica (logica proposizionale e predicativa, parlando anche dei teoremi di goedel).
Già durante il corso mi interessai della teoria degli insiemi (il paradosso di Russel fu veramente un'esperienza esoterica), ma preso dagli altri esami lasciai un poi li la materia.
Qualche mese fa ho iniziato a studiare algebra per conto mio sul libro Bosch - algebra. Qui si parte direttamente dai gruppi, dando per scontato tutta la parte su insiemi, fuzioni e relazioni. Siccome però alla magistrlale voglio passare a matematica, per l'anno prossimo pensavo di iscrivermi ai corsi singoli di algebra I e algebra II della statale di Milano, per certificare le mie conoscenze. Nel programma di algebra I c'è un pezzo sulla teoria ZF, che non era presente nel libro che avevo usato io. Ho quindi fatto una spedizione in biblioteca, portando a casa il libro del prof del corso (Barbieri viale). Nei primi capitoli tratta la teoria assiomatica ZF degli insiemi, accennando poi in un appendice l'universo di Grothendieck. Cercando di più sull'argomento ho scoperto molte teorie insiemistiche, e quello che cercavo era un libro che mi fornisse un filo conduttore per espandere le mie conoscenze in questa materia.
Leggendo le vostre risposte e i link che avete postato, penso di procedere in questo modo:
1) espandere le mie conoscenze di ZF(C) con :
- Suppes Axiomatic Set Theory
- Karel Hrbacek and Thomas Jech, Introduction to Set Theory
2) Mettere nel contesto storico ZFC, iniziando a sviluppare altre teorie insiemistiche
- Abraham Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel and Azriel Levy, Foundations of Set-Theory
3) Cercare materiale sulle teorie insiemistiche che mi interesserà approfondire (Sicuramente pernso NBG, GT, e le versioni con Ur)
Come inizio penso basti, dovrebbe darmi argomenti da approfondire fino almeno la fine della magistrale
Neanche a me serve direttamente la materia (penso di andare verso la fisica matematica alla magistrale, che mi permette di tenere i piedi in quasi tutte le scarpe della matematica), ma è interessante come argomento, ti fa veramente pensare cosa è la matematica e su cosa si fonda, di solito tutte queste cose vengono date per scontate in un qualunque corso matematico che non le riguardi direttamente (non penso che di aver mai sentito nessuno / letto nessun libro che parlando di algebra lineare dice che la possibilità di creare una base da uno spazio vettoriale derivi direttamente dall'assioma della scelta ad esempio).
"sapo93":
l'universo di Grothendieck
Gli universi
Il Mendelson (Introduction to Mathematical Logic) verso la fine tratta \(\displaystyle \sf NBG \) molto bene da un punto di vista logico, non è un testo di teoria degli insiemi e non ha alcuna pretesa di completezza sull'argomento, ma dal momento che è un capitolo piuttosto breve può valere una lettura prima di iniziare il lavoro serio, personalmente ho trovato interessante il modo in cui imposta il discorso.
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