Yet another puzzle from the april's shout

[Bokonon]

Lo metto qua sia per chi l'ha già visto e chi non.
A differenza dall'altro, questo ha una soluzione elegante e significativa IMHO.

[axpgn]

$rsin(alpha)+rsin(beta)=rcos(alpha)+rcos(beta)$

$2sin((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)=2cos((alpha+beta)/2)cos((alpha-beta)/2)$

$sin((alpha+beta)/2)=cos((alpha+beta)/2)$

$tan((alpha+beta)/2)=sin((alpha+beta)/2)/cos((alpha+beta)/2)=1$

$alpha+beta=pi/2$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex
Quella è l'essenza. Metti anche la risposta però.

[axpgn]

Da quanto scritto precedentemente abbiamo che il lato del quadrato grande è $L=rsin(alpha)$ mentre il lato del quadrato piccolo è $l=rcos(alpha)$ quindi $A=L^2+l^2=(rsin(alpha))^2+(rcos(alpha))^2=r^2[(sin(alpha))^2+(cos(alpha))^2]=r^2*1$ che nel caso specifico, essendo $r=5$, avremo $A=25$

Cordialmente, Alex

[Bokonon]

@Alex

[giammaria2]

Do una soluzione senza trigonometria.

Per il punto P comune ai due quadrati ed al diametro traccio una retta inclinata di 45° sul diametro, che incontra la circonferenza in A, B; completo poi i quadrati di diagonali PA, PB. Essi sono uno coincidente e l'altro uguale ai quadrati dati, quindi
$A=((PA)/sqrt 2)^2+((PB)/sqrt 2)^2=1/2(PA^2+PB^2)$
Detto H il punto medio di AB e posto $OH=HP=a$ ed $r="raggio"=5$, continuo con
$A=1/2[(sqrt(r^2-a^2)+a)^2+(sqrt(r^2-a^2)-a)^2]=...=r^2$