$x^2+k$ è un quadrato perfetto
Determinare tutte le coppie $(x,k) in ZZ$ per le quali $x^2+k$ è un quadrato perfetto.
Risposte
Mi è venuta in mente una possibile soluzione, ma credo che sia non solo banale ma pure ingenua o non corretta... non mi sono mai dedicato al problem solving...
Allora il quesito chiede di determinare quante soluzioni ha l'equazione
$x^2+k=p^2$
Poichè k è un intero qualsiasi, nulla toglie che esso stesso non possa essere un quadrato perfetto
Distinguiamo quindi i due casi i cui k è un quadrato e in cui non lo è.
Vediamo che se $k=y^2$
l'equazione diventa
$x^2+y^2=p^2$
Questa uguaglianza rappresenta una terna pitagorica qualsiasi. Ma come sappiamo le possibili terne pitagoriche sono infinite, quindi poichè p^2 è un quadrato qualsiasi non deciso, il numero di soluzioni per $x^2$ e $y^2$ (quindi $k$) è infinito. (Non credo di essere in grado di studiare la situazione se k non è un quadrato perfetto, ma credo che il fatto di aver dimostrato l'infinità di soluzioni in una situazione particolare sia sufficiente)
Boh.. non saprei ditemi un po' voi. Ciao
Allora il quesito chiede di determinare quante soluzioni ha l'equazione
$x^2+k=p^2$
Poichè k è un intero qualsiasi, nulla toglie che esso stesso non possa essere un quadrato perfetto
Distinguiamo quindi i due casi i cui k è un quadrato e in cui non lo è.
Vediamo che se $k=y^2$
l'equazione diventa
$x^2+y^2=p^2$
Questa uguaglianza rappresenta una terna pitagorica qualsiasi. Ma come sappiamo le possibili terne pitagoriche sono infinite, quindi poichè p^2 è un quadrato qualsiasi non deciso, il numero di soluzioni per $x^2$ e $y^2$ (quindi $k$) è infinito. (Non credo di essere in grado di studiare la situazione se k non è un quadrato perfetto, ma credo che il fatto di aver dimostrato l'infinità di soluzioni in una situazione particolare sia sufficiente)
Boh.. non saprei ditemi un po' voi. Ciao
"blackdie":
Determinare tutte le coppie $(x,k) in ZZ$ per le quali $x^2+k$ è un quadrato perfetto.
@+Steven+: il p.to è che il problema non chiede di stabilire quante siano le soluzioni in interi $(x,y,k)$ all'equazione $x^2 + k = y^2$, ma di determinarle tutte. Altrimenti la questione sarebbe sì banale. Vuoi per le ragioni che hai già detto, vuoi - più semplicemente - per il fatto che $x^2 + 0 = x^2$, per ogni $x \in ZZ$.
Ma se le soluzioni sono infinite, come è possibile determinarle tutte?
forse mi sono posto in maniera sbagliata con il problema, nel senso ho generalizzato troppo...
forse mi sono posto in maniera sbagliata con il problema, nel senso ho generalizzato troppo...
"+Steven+":
Ma se le soluzioni sono infinite, come è possibile determinarle tutte?
forse mi sono posto in maniera sbagliata con il problema, nel senso ho generalizzato troppo...
Anche i pari in $ZZ$ sono infiniti, ma si può descriverli assai semplicemente dicendo che un intero $n$ è pari sse $n = 2k$, per qualche $k \in ZZ$. Chiaramente, non è detto sia questo il caso del problema posto da blackdie: sarebbe interessante capire, in tal senso, se si tratta di un self-posed.
Anzitutto: la successione delle differenze tra due quadrati è la successione dei numeri dispari. Infatti, fissato $x in Z$, si ha $(x+1)^2-x^2=2x+1$.
L'insieme delle coppie è allora dato da $( x ; sum_(i=1)^n(2(x+i)+1) )$, $k=sum_(i=1)^n(2(x+i)+1)$, $n in N$
L'insieme delle coppie è allora dato da $( x ; sum_(i=1)^n(2(x+i)+1) )$, $k=sum_(i=1)^n(2(x+i)+1)$, $n in N$
"cubalibre":
Anzitutto: la successione delle differenze tra due quadrati è la successione dei numeri dispari. Infatti, fissato $x in Z$, si ha $(x+1)^2-x^2=2x+1$.
Tanto per smentirti: $4^2 + 20 = 6^2$. Casomai è la differenza di due quadrati consecutivi che blahblahblah...
infatti ho scritto la differenza...
ah no scusa
ho capito male
intendevo comunque la differenza di quadrati consecutivi
ho capito male
intendevo comunque la differenza di quadrati consecutivi
infatti quel venti lo puoi trovare con la mia formula:
20=(2x4+1)+(2x(4+1)+1)
20=(2x4+1)+(2x(4+1)+1)
"cubalibre":
L'insieme delle coppie è allora dato da $( x ; sum_(i=1)^n(2(x+i)+1) )$, $k=sum_(i=1)^n(2(x+i)+1)$, $n in N$
Non capisco le tue considerazioni, cubalibre: vuoi dire per caso che questa formula genera tutte le soluzioni al problema di blackdie? Te lo chiedo perché, se è questo che sostieni, allora conviene che tu ci mostri le prove a supporto della tesi.
Fra l'altro, questa formula - così come è data - suggerisce che, per un $x \in ZZ$ fissato, $n$ possa essere arbitrario in $NN^+$. Direi che non va poi tanto bene, sei d'accordo?
L'idea è molto semplice:qualunque numero x in Z va bene, e a questo devi aggiungerci il numero dispari 2x+1, in maniera da ottenere il quadrato del numero (x+1)^2, oppure il numero 2x+1+2(x+1)+1 in modo da ottenere il quadrato del numero (x+2)^2 e così via.
"cubalibre":
L'idea è molto semplice: qualunque numero x in Z va bene, e a questo devi aggiungerci il numero dispari 2x+1, in maniera da ottenere il quadrato del numero (x+1)^2, oppure il numero 2x+1+2(x+1)+1 in modo da ottenere il quadrato del numero (x+2)^2 e così via.
Perciò riassumiamo: tu dici che, per ogni $x \in ZZ$, l'equazione $x^2 + k = y^2$ ammette una soluzione $(k,y)$ in interi, in cui $k = \sum_{i=1}^n (2(x+i) + 1)$, per qualche $n \in NN^+$? Se così, serve una dimostrazione generale, certo non possiamo contentarci del tuo liquidatorio "e così via". Al di là di questo, ho una domanda: di soluzioni al problema posto in origine da blackdie, ce ne sono altre, a parte le presunte che tu dici? O sono tutte riassunte nella formula (...) che hai indicato? Se è così, come lo provi?
"DavidHilbert":
Perciò riassumiamo: tu dici che, per ogni $x \in ZZ$, l'equazione $x^2 + k = y^2$ ammette una soluzione $(k,y)$ in interi, in cui $k = \sum_{i=1}^n (2(x+i) + 1)$, per qualche $n \in NN^+$? Se così, serve una dimostrazione generale, certo non possiamo contentarci del tuo liquidatorio "e così via".
...ma soprattutto: se anche questo fosse vero e ti riuscisse di provarlo, il problema non sarebbe comunque risolto. Al più si direbbe riformulato in altri termini, visto che resterebbe comunque da determinare l'$n \in NN^+$ per cui la condizione indicata fosse mai, in effetti, soddisfatta.
allora, vediamo se riesco a non fare errori, 
Sia $x$ fissato in $ZZ$. Dobbiamo trovare tutti i $k in ZZ$ tali che $x^2+k$ sia il qudrato di un numero naturale. Ho fatto vedere prima che, dati due quadrati perfetti consecutivi, la loro differenza è un numero dispari e precisamente il numero $2y+1$, con $y in NN$ la radice del quadrato più piccolo.
Consideriamo ora un qualsiasi quadrato perfetto $x_1>x^2$ con radice $t_1 in NN$.
$t_1$ sarà esprimibile come la somma tra $x$ , preso in valore assoluto (d'ora innanzi considero sempre il valore assoluto di x) e un certo numero $n+1inNN$. Risulta allora $(x+n+1)^2-x^2=2(n+1)x+(n+1)^2=sum_(i=0)^n(2x+2i+1)$.
Dunque se $k$ assume il valore $k=sum_(i=0)^n(2x+2i+1)$ si "coprono" al variare di $n$ tutti e soli i quadrati perfetti maggiori di $x^2$.
Consideriamo ora un quadrato perfetto $x_2
Dunque se $k$ assume il valore $k=-sum_(i=0)^n(2x-2i+1)$ sono coperti tutti e soli i quadrati perfetti minori di $x^2$.
Il motivo per cui ho usato le formulacce con le sommatorie è perché esse esprimono effettivamente il fatto che k sia somma di numeri dispari più piccoli di $2x$ se si vogliono coprire quadrati minori di $x^2$ o somma di numeri dispari più grandi di $2x$ se si vogliono coprire quadrati maggiori di $x^2$
Ricapitolando: $x$ può assumere qualunque valore in $ZZ$. A seconda del valore che $x$ assume in $ZZ$, $k$ può assumere un infinita serie (precisamente un'infinità numerabile) di valori affinché $x^2+1$ sia un quadrato perfetto.
Sia $x$ fissato in $ZZ$. Dobbiamo trovare tutti i $k in ZZ$ tali che $x^2+k$ sia il qudrato di un numero naturale. Ho fatto vedere prima che, dati due quadrati perfetti consecutivi, la loro differenza è un numero dispari e precisamente il numero $2y+1$, con $y in NN$ la radice del quadrato più piccolo.
Consideriamo ora un qualsiasi quadrato perfetto $x_1>x^2$ con radice $t_1 in NN$.
$t_1$ sarà esprimibile come la somma tra $x$ , preso in valore assoluto (d'ora innanzi considero sempre il valore assoluto di x) e un certo numero $n+1inNN$. Risulta allora $(x+n+1)^2-x^2=2(n+1)x+(n+1)^2=sum_(i=0)^n(2x+2i+1)$.
Dunque se $k$ assume il valore $k=sum_(i=0)^n(2x+2i+1)$ si "coprono" al variare di $n$ tutti e soli i quadrati perfetti maggiori di $x^2$.
Consideriamo ora un quadrato perfetto $x_2
Dunque se $k$ assume il valore $k=-sum_(i=0)^n(2x-2i+1)$ sono coperti tutti e soli i quadrati perfetti minori di $x^2$.
Il motivo per cui ho usato le formulacce con le sommatorie è perché esse esprimono effettivamente il fatto che k sia somma di numeri dispari più piccoli di $2x$ se si vogliono coprire quadrati minori di $x^2$ o somma di numeri dispari più grandi di $2x$ se si vogliono coprire quadrati maggiori di $x^2$
Ricapitolando: $x$ può assumere qualunque valore in $ZZ$. A seconda del valore che $x$ assume in $ZZ$, $k$ può assumere un infinita serie (precisamente un'infinità numerabile) di valori affinché $x^2+1$ sia un quadrato perfetto.
La $n in N$ non è da trovare, semplicemente perché vale per ogni n, cioè quale che sia il valore di n ottieni sempre e comunque un quadrato perfetto (e questo non è un caso: l'insieme dei numeri naturali è in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei quadrati perfetti) Comunque ora ti ho scritto il mio ragionamento in termini più formali (sperando di non aver fatto errori... 
ciao
ciao
Ma fatevi una bella partita a Pro Evolution soccer 6 alla playstation 2 che è meglio!!!!!!
Evita post del genere, magari, rematrix.
Edit: cancellato le cavolate.
Edit: cancellato le cavolate.
"Crook":
Evita post del genere, magari, rematrix.
Se $x^2+k$ è un quadrato perfetto, allora $x^2+k-=0,1,4(mod8)$. Quindi le soluzioni sono $(x,8k_1), (x,8(k_1-1),(x,8(k_1-4))$, per ogni $x,k_1 in ZZ$.
No, se $x=1$ e $k1=3$ allora $(x,8(k_1-1))=(1,16)$ è una soluzione, e quindi $1^2+16=17$ è un quadrato perfetto?
No. è da cancellare completamente ciò che ho scritto. Non ho fatto in tempo a editare, perché hai già risposto.
discutete sul niente: $(x,k)=(x,N^2-x^2)$
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