$x_n$ e $n$ primi fra loro
Sia data la successione
$x_1 = 2$
$x_{n+1} = 2x_n^2 -1$ per $n ≥ 1$
Dimostrare che $n$ e $x_n$ sono relativamente primi per ogni $n ≥ 1$.
$x_1 = 2$
$x_{n+1} = 2x_n^2 -1$ per $n ≥ 1$
Dimostrare che $n$ e $x_n$ sono relativamente primi per ogni $n ≥ 1$.
Risposte
Forse sbaglio ma ho qualche perplessità su questo quesito.
Scriviamo la relazione così :
(1) \(\displaystyle x_{n+1}=x^2_n-(1-x^2_n) \)
Posto \(\displaystyle x_n=\cos(A \cdot 2^n) \) ,con A costante da determinare in base alle condizioni iniziali, il secondo membro della (1) diventa \(\displaystyle \cos^2(A \cdot 2^n)-\sin^2(A \cdot 2^n)=\cos2(A \cdot 2^n)=\cos(A \cdot 2^{n+1})=x_{n+1} \)
Pertanto \(\displaystyle x_n= \cos(A \cdot 2^n) \) è soluzione della ricorrenza,ma allora la condizione \(\displaystyle x_1=2 \) è impossibile.Forse c'è qualche altra soluzione di natura algebrica ( sebbene non mi pare di ricordare che una ricorrenza abbia due tipi diversi di soluzioni ).Mah ...
Scriviamo la relazione così :
(1) \(\displaystyle x_{n+1}=x^2_n-(1-x^2_n) \)
Posto \(\displaystyle x_n=\cos(A \cdot 2^n) \) ,con A costante da determinare in base alle condizioni iniziali, il secondo membro della (1) diventa \(\displaystyle \cos^2(A \cdot 2^n)-\sin^2(A \cdot 2^n)=\cos2(A \cdot 2^n)=\cos(A \cdot 2^{n+1})=x_{n+1} \)
Pertanto \(\displaystyle x_n= \cos(A \cdot 2^n) \) è soluzione della ricorrenza,ma allora la condizione \(\displaystyle x_1=2 \) è impossibile.Forse c'è qualche altra soluzione di natura algebrica ( sebbene non mi pare di ricordare che una ricorrenza abbia due tipi diversi di soluzioni ).Mah ...
"vittorino70":
Forse sbaglio ma ho qualche perplessità su questo quesito.
Scriviamo la relazione così :
(1) \(\displaystyle x_{n+1}=x^2_n-(1-x^2_n) \)
Posto \(\displaystyle x_n=\cos(A \cdot 2^n) \) ,con A costante da determinare in base alle condizioni iniziali, il secondo membro della (1) diventa \(\displaystyle \cos^2(A \cdot 2^n)-\sin^2(A \cdot 2^n)=\cos2(A \cdot 2^n)=\cos(A \cdot 2^{n+1})=x_{n+1} \)
Pertanto \(\displaystyle x_n= \cos(A \cdot 2^n) \) è soluzione della ricorrenza,ma allora la condizione \(\displaystyle x_1=2 \) è impossibile.Forse c'è qualche altra soluzione di natura algebrica ( sebbene non mi pare di ricordare che una ricorrenza abbia due tipi diversi di soluzioni ).Mah ...
Il coseno è definito in R, xn in N. Quindi un reale non è un intero.
Poi il coseno ha valori tra 0 e 1. Quella tua successione è strettamente crescente.
Invece potresti studiare la parità della successione e da quello vedere che ti basta studiare gli indici dispari concludendo.
Questa relazione può essere utile?
$x_n -1= 2^(n-1) (x_1+1)(x_2+1)...(x_{n-1}+1)$
penso possa essere utile perchè fa intervenire tutte le $x_i$.
$x_n -1= 2^(n-1) (x_1+1)(x_2+1)...(x_{n-1}+1)$
penso possa essere utile perchè fa intervenire tutte le $x_i$.
Se riesci ad utilizzarla in qualche modo ben venga.
Comunque io ho ragionato in modo diverso, dimostrando che se un numero primo $p$ divide $x_n$ allora esso non può dividere $n$. In particolar modo mi sono concentrato sui possibili resti che i termini della successione possono dare, se divisi per $p$
Comunque io ho ragionato in modo diverso, dimostrando che se un numero primo $p$ divide $x_n$ allora esso non può dividere $n$. In particolar modo mi sono concentrato sui possibili resti che i termini della successione possono dare, se divisi per $p$
Alura proviamo a seguire il suggerimento.
La tesi è equivalente a:
Dato un primo $p$, la successione $x_n$ modulo $p$ non assume mai il valore nullo se $n$ è un multiplo di $p$.
Faccio due osservazioni:
1) la successione $x_n$ modulo $p$ da un certo punto in poi diventa periodica. Infatti se partiamo da $x_1=2$ prima o poi otterremo un valore già ottenuto, per finitezza di $Z_p$. Da quel punto in poi si entra in un ciclo. Si entra inoltre nel ciclo al massimo al passo $p+1$ esimo.
2) dopo che si è ottenuto il valore $0$ il destino della successione è segnato: $0 \rightarrow -1 \rightarrow 1 \rightarrow 1...$.
Grazie all'osservazione 2 sappiamo che la successione solo una volta può assumere il valore $0$. Inoltre se assume il valore $0$ deve farlo in uno dei primi $p$ passi.
Quindi la domanda che rimane è: può assumere il valore $0$ al passo p-esimo????? E' a questo punto l'unico passo multiplo di $p$ in cui può ancora assumere il valore $0$.
Supponiamo che $x_p==0$. Allora tutti i valori precedenti sono diversi tra loro, visto che non si è ancora entrati in un ciclo. Ma allora il valore $x_p==1$ è stato già assunto e si era già entrati nel ciclo $1 \rightarrow 1 \rightarrow ....$. Quindi $x_p=1$ e non $0$ ed è un assurdo.
La tesi è equivalente a:
Dato un primo $p$, la successione $x_n$ modulo $p$ non assume mai il valore nullo se $n$ è un multiplo di $p$.
Faccio due osservazioni:
1) la successione $x_n$ modulo $p$ da un certo punto in poi diventa periodica. Infatti se partiamo da $x_1=2$ prima o poi otterremo un valore già ottenuto, per finitezza di $Z_p$. Da quel punto in poi si entra in un ciclo. Si entra inoltre nel ciclo al massimo al passo $p+1$ esimo.
2) dopo che si è ottenuto il valore $0$ il destino della successione è segnato: $0 \rightarrow -1 \rightarrow 1 \rightarrow 1...$.
Grazie all'osservazione 2 sappiamo che la successione solo una volta può assumere il valore $0$. Inoltre se assume il valore $0$ deve farlo in uno dei primi $p$ passi.
Quindi la domanda che rimane è: può assumere il valore $0$ al passo p-esimo????? E' a questo punto l'unico passo multiplo di $p$ in cui può ancora assumere il valore $0$.
Supponiamo che $x_p==0$. Allora tutti i valori precedenti sono diversi tra loro, visto che non si è ancora entrati in un ciclo. Ma allora il valore $x_p==1$ è stato già assunto e si era già entrati nel ciclo $1 \rightarrow 1 \rightarrow ....$. Quindi $x_p=1$ e non $0$ ed è un assurdo.
Perfetto 
Identico a come l'avevo fatto io.
Un'osservazione: la tesi vale qualsiasi sia il valore di $x_1$ (ovviamente intero positivo)
Identico a come l'avevo fatto io.
Un'osservazione: la tesi vale qualsiasi sia il valore di $x_1$ (ovviamente intero positivo)
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