Voglio proporre una sfida anche io!

[hos-juzamdjinn]

Cio' messo una giornata a risolverlo e ve lo voglio proporre!!!

La bisettrice dell'angolo in C di un triangolo ABC interseca il lato AB in D. Si dimostri che il segmento CD ha lunghezza minore della media geometrica delle lunghezze dei lati CA e CB.

Nota:Dati n numeri positivi a1,a2,...,an la loro media geometrica è G=(a1*a2*....*an)^(1/n) cioè la radice ennesima del loro prodotto, in particolare la media geometrica di due numeri a,b è G=sqrt(a*b)

ora ve ne propongo un altro più facile (almeno così mi pare)

Le diagonali di un trapezio lo dividono in quattro triangoli. Se A1 e A2 sono le aree dei due triangoli adiacenti alle basi, si determini l'area del trapezio.

Ciao e buon divertimento

[Sk_Anonymous]

Propongo una dimostrazione matematica.
la bisettrice CD e' data dalla formula:
CD=2/(a+b)*sqrt[a*b*p*(p-c)] dove
a,b,c sono i lati del triangolo (a e b sono i lati
tra i quali e' compresa la bisettrice CD) e p=(a+b+c)/2.
Peranto:
CD=2/(a+b)*sqrt[(a*b)*((a+b+c)/2)*((a+b-c)/2)] ovvero:
CD=2/(a+b)*sqrt{(a*b)*[(a+b)^2-c^2]/4} ,da cui:
CD<2/(a+b)*sqrt{(a*b)*[(a+b)/2]^2} e quindi:
CD<2/(a+b)*(a+b)/2*sqrt(a*b), cioe'
CD
karl.

[Thomas16]

Questa è la prima sol nn algebrica al primo che mi è venuta in mente. Domani forse la più elegante:

CD^2
Ora si tracci la circonferenza di centro C e raggio r=CD, che taglia le rette AC e AB in du punti distiniti. Tracciamo le distanze da D ad AC e da D a CB, rispettivamente H e K. Naturalmente è DH=DK.

Pongo
1/2*CD^2*sen(2a)<1/2*AC*CB*sen(2a)

cioè: l'area del settore circolare che ha come lati le rette CH e DK è minore dell'area dal triangolo ABC.
[esplicito che la disuguaglianza è stata resa più forte]

Teniamo quindi fissa l'area del settore. Al minimo quanto vale l'area del triangolo?

***********tutto questo si può evitare**********

area ABC=AC*DH/2+CB*DK/2=DH/2*(AC+CB)

bisogna minimizzare AC+CB dato che DH è costante con il settore. Purtroppo quà viene la parte trigonometrica...

Chiamo AC=b che sarà il parametro. Voglio trovare CB in funzione di AC. Pongo anche CDA=x.

Per il teorema dei seni nel triangolo ADC:

b/sen(x)=CD/sen(x+a)

da cui tg(x)= [a*sen(a)]/[CD-a*cos(a)]

nel triangolo CDB

CB/sen(x)=CD/sen(x-a)

da cui CB=[CD*tg(x)]/[tg(x)*cos(a)-sen(a)]

sostituendo il valore della tangente trovato prima

CB=[CD*a]/[2a*cos(a)-CD]

CB+AC=CB+a = a*[2a*cos(a)/(2a*cos(a)-CD)]
= a*[1/(1-CD/(2a*cos(a))]

ma dal disegno si vede (e dimostra facilmente) che è CD >= a*cos(a) (a meno di rinominare AC e CB). Quindi sostituendo questo valore (a=CD/cos(a)) si trova che il minimo valore è 2a=2r/cos(a).

*************fine****************

L'area è minima quindi quando CDA è rettangolo (ecco il punto che domani proverò a dimostrare senza trigo). Ma in questo caso il disegno mostra che l'area è superiore a quella del settore....


Saluti

[Thomas16]

Forse ci sono arrivato subito! Basta fare prima il disegno finale con il triangolo rettangolo. Dopo si tracci una qualsiasi retta passante per D. Si vede credo facilmente che l'area aggiunta è maggiore di quella tolta (questo per eliminare la parte trigonometrica dellla sol sopra: si hanno due triangolini con medesima altezza e quindi basta confrontare le basi)...

[_Tipper]

Chiamo gamma l’angolo in C
L’area del triangolo è uguale alla somma delle aree di CDB e ACD, ovvero scritte in formula trigonometrica
½ CB AC sengamma = ½ CD CB sen(gamma/2) + ½ AC CD sen (gamma/2)
semplificando ½ e scrivendo sengamma come 2sengamma/2 cosgamma/2 e semplificando un sengamma/2 si ottiene:

2 AC CB cos(gamma/2)=CD(CB + AC)
quindi
CD=2AC CB cos(gamma/2))/(CB+AC)
La media geometrica di AC e CB non è nient’altro che il lato del quadrato avente per area la doppia area del triangolo
2AC CB/(CB+AC) non è nient’altro che l’area del quadrato fratto la somma aritmetica di CB eAC
Come sappiamo la media aritmetica fra due numeri e sempre maggiore della loro media geometrica, quindi, dividendo AC CB per la loro media geometrica si ottiene la loro media geometrica, quindi si può scrivere che 2AC CB/(CB+AC) minore del lato del quadrato, cioè minore della media geometrica.
Essendo 2AC CB / (CB + AC) = CD è dimostrata la tesi.
In questo caso ho considerato cosgamma/2 = 1, che è il valore massimo che può assumere, quindi tutto funziona anche se il coseno assume valori minori di 1 (in verità il coseno in un triangolo assume sempre valori minori di 1, nessun triangolo può avere angoli di 0°!!!)

[hos-juzamdjinn]

Non ho avuto tempo di controllare le vostre dimostrazioni cmq io l'avrei dimostrato così (mi pare che ce ne sia una simile alla mia + o -)

Posto AB=a; AC=b; BC=c; CD=d e l'angolo ACB=2fi (questo angolo è tagliato a meta dalla bisettrice) ho:

1)Area triangolo ABC = (1/2)*bc*sen(2fi)=bc*sen(fi)*cos(fi)

2)ma l'area del triangolo ABC la posso vedere anche come la sommma delle aree dei triangoli ADC e CDB che vale:
(1/2)*bd*sen(fi)+(1/2)*cd*sen(fi)

Imponendo l'uguaglianza della 1 e della 2 trovo:
bc*sen(fi)*cos(fi)=(1/2)d(b+c)*sen(fi)
ovvero d=((2bc)/(b+c))*cos(fi)<(2bc)/(b+c) (poichè 0

Cita

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[Sk_Anonymous]

Propongo una soluzione al primo quesito esclusivamente
geometrica (fare la figura).
Si prolunghi la bisettrice CD (dalla parte di D) fino
ad incontrare in E la circonferenza circoscritta al
triangolo.Dai triangoli simili ACE e CDB si ha:
AC:CD=CE:BC da cui AC*BC=CD*CE
Ma CE=CD+DE e quindi:
AC*BC=CD*(CD+DE) ovvero:AC*BC=CD^2+CD*DE
Ora ,per il teorema delle corde (AB e CE), risulta:
CD*DE=AD*BD e quindi si ha:
AC*BC=CD^2+AD*BD da cui si trae:
AC*BC>CD^2 cioe':CD
C.V.D.
karl.

[Sk_Anonymous]

Soluzione del 2°.
[img]http://xoomer.virgilio.it/carlolorito/trap.bmp[/img]
I triangoli (vedi fig.)ADE e BEC son equiestesi e sia
S l'area comune, mentre indichiamo con S1 ed S2 le aree
dei triangoli AEB e DEC.
Si ha :
h=2*S1/AB , k=2*S2/CD ed inoltre,per una proprieta'
del trapezio e':ME=NE=(AB*CD)/(AB+CD).
Dalla similitudine dei triangoli AEB e DEC risulta:
CD^2:AB^2=S2:S1--->CD:AB=sqrt(S2):sqrt(S1);
Possiamo quindi porre:CD=r*sqrt(S2) e AB=r*sqrt(S1)
con r fattore di proporzionalita'.
Allora:
S=1/2*ME*(h+k)=1/2*(AB*CD)/(AB+CD)*[2*S1/AB +2*S2/CD]
e per le precedenti formule:
S=1/2*[(r*sqrt(S1)*r*sqrt(S2))/(r*sqrt(S1)+r*sqrt(S2)]*[2*S1/(r*sqrt(S1))+2*S2/(r*sqrt(S2)]
Fatti i calcoli risulta:
S=sqrt(S1*S2).
In definitiva l'area del trapezio e:
Area_Trapezio= S1+S2+2*sqrt(S1*S2)
karl.

[hos-juzamdjinn]

Ho letto la soluzione di Karl del secondo quesito io l'ho risolto così (forse si dice la stessa cosa poi controllo):

(Utilizzo la figura di Karl)
L'area del trapezio è (1/2)*(AB+DC)*(h+k) ma visto che i due triangoli ABE e EDC sono simili indicando con r il rapporto di similitudine si ha area trapezio= (1/2)*(AB+r*AB)*(h+r*h)=(1/2)*AB*h*((1+r)^2) è noto che (r^2)=(area DEC)/(area ABE)=A1/A2 avendo indicato con A1=area DEC e A2=area ABE si trova infine
Area trapezio=A1*(1+sqrt(A2/A1))^2

[hos-juzamdjinn]

Si si è la stessa cosa solo no capivo tutti i passaggi cmq se uno svolge il quadrato torna la solita cosa cioè
S1*(1+sqrt(S2/S1))^2=S1+S2+2*sqrt(S1*S2)