Urna e palline

[Piera4]

In un’urna ci sono 10 palline bianche e 20 nere.
Vengono effettuate con reimmissione $n$ estrazioni.
Si determini il più piccolo valore di $n$ in corrispondenza del quale la probabilità di estrarre un numero pari di palline bianche è minore di $1/2$.

[hydro1]

nn so se ho capito bene il prblema... dopo 2 estrazioni avrò le seguenti possibili combinazioni

BB p=(1/3)*(1/3)

NB p=(2/3)*(1/3)

BN p=(1/3)*(2/3)

NN p=(2/3)*(2/3)

nel primo caso ho estratto 2 palline bianche, quin di un numero pari di esse con probabilità minore di 1/2

[Piera4]

Anche zero è un numero pari, quindi, quando vengono effettuate due estrazioni, si devono considerare gli eventi BB e NN, ottenendo una probabilità maggiore di 1/2.

[Sk_Anonymous]

ma zero è quando non avviene alcun evento...
secondo me già con due estrazioni di due palline bianche si ottiene una p < 1/2

[Cheguevilla]

No matt, 0 vuol dire nessuna pallina bianca, cioè due palline nere.

[Kroldar]

uhm mi viene il dubbio che la probabilità di pescare un numero pari di palline bianche tenda a $1/2$ da destra per n che tende all'infinito

[Piera4]

Ottima intuizione Kroldar!

Sia $P_n$ la probabilità di osservare un numero pari di palline bianche su $n$ estrazioni (indichiamo con E tale evento), e consideriamo gli eventi
A = in $n-1$ estrazioni si è osservato un numero pari di palline bianche;
B = il complementare di A, cioè in $n-1$ estrazioni si è osservato un numero dispari di palline bianche.
Allora, dal teorema delle probabilità totali, segue che

$P_n=P(E)= P(E|A) P(A) + P(E|B) P(B)$ (1)

risulta
$P(A)=P_(n-1)$
$P(B)=1-P_(n-1)$
$P(E|A)=2/3$, infatti se si sa che in $n-1$ estrazioni si è osservato un numero pari di palline bianche, per avere un numero pari in $n$ estrazioni deve uscire una pallina nera
$P(E|B)=1/3$.

La (1) diventa
$P_n=2/3*P_(n-1) + 1/3 * (1-P_(n-1))$
risolvendo quest'equazione alle differenze (tenendo conto della condizione iniziale $P_0=1$) si ha
$P_n=1/2+(1/2)*(1/3)^n $
da qui si vede che la probabilità tende a $1/2$ da destra, pertanto nessun valore di $n$ soddisfa il problema.

[Kroldar]

grazie della dimostrazione... sei stata brava a porre un problema secondo me interessante e tutt'altro che banale. sinceramente lo avevo sottovalutato e pensavo di risolverlo ricorrendo a una variabile aleatoria nota (io avevo pensato a quella binomiale), ma non riuscivo ad imporre la condizione di parità. visto che si cercava il numero più piccolo ed essendo $NN$ discreto ho fatto qualche tentativo con degli $n$ piccoli, non si sa mai - mi sono detto - può darsi che la soluzione sia un numero molto piccolo; ho provato con i primi 5 numeri naturali e ho notato che ogni volta il risultato aveva per denominatore un numero dispari (una potenza di 3) e per numeratore la media aritmetica tra il denominatore e $1$, tutto ciò dovuto al fatto che si doveva aggiungere anche la probabilità che uscissero $0$ palline bianche, che faceva aumentare sempre di $1$ unità il numeratore. Coincidenza? Come ci hai magistralmente spiegato tu, no! complimenti per l'idea