Uova e piramidi

[axpgn]

Un uovo pesa $2$ once e può sostenere un peso fino a $8$ libbre senza rompersi (Una libbra è equivalente a sedici once).
Quanto può essere alta al massimo una piramide di uova a base quadrata senza collassare? E a base triangolare?
Per semplicità si assume che il peso sovrastante ogni piano sia suddiviso equamente tra le uova di quel piano.

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$193$ per la piramide a base quadrata, uno in meno per quella tetraedrica

Ciao

[Drazen77]

C'è una cosa che vorrei capire:
in questo disegno ci sono due possibili punte di una piramide a base quadrata viste dall'alto.
Quale devo prendere in considerazione?
Quella a sinistra, in cui l'uovo in alto è sorretto da uno strato 2x2
o quello a destra, in cui l'uovo in alto è sorretto da uno strato 3x3?

Immagino sia da prendere in considerazione il modello di sinistra...
(in ogni caso, vi piacciono le mie uova quadrate?)

[axpgn]

@orsoulx

A me vengono $193$ tutte e due

@Drazen77
Ovviamente quella di sinistra ... pur essendo in una situazione "ideale" non capisco come faresti con quella di destra ...
[ot]a riguardo delle uova quadrate: dovresti chiederlo alle galline ...[/ot]



Cordialmente, Alex

[Drazen77]

Pensavo a una sorta di rete o di pianale, dal peso trascurabile, che dividesse i vari strati consentendo di distribuire il peso sovrastante allo strato sottostante in maniera omogenea.

[axpgn]

@Drazen77
Non siamo nella sezione "Ingegneria" ... ... e magari sei un ingegnere ...

[orsoulx]

@Alex,

"axpgn":A me vengono 193 tutte e due

Forse perché non hai tenuto conto che la base, se è in grado di reggere, esattamente, la piramide sovrastante, nel momento in cui aggiungi l'uovo sommitale (non puoi farlo a velocità zero) collassa.
[ot]Ho giocato ad imitarti La tua soluzione è giusta, non so cosa ho sbagliato stamattina (non ho appunti), magari mi son dimenticato di aumentare di uno la dimensione della base.[/ot]

Ciao

[Drazen77]

Calcolando a mano è lunga.
Voi come avete fatto?
Avete compilato un foglio di calcolo su computer?

[axpgn]

@Drazen77

Non è necessario un pc, se proprio basta una calcolatrice ... ti do uno spunto: sai niente dei numeri "figurati"? oppure pensa alla somma delle somme dei primi $n$ naturali (per quella triangolare) ... l'ambito è quello ... e probabilmente ci saranno tanti altri metodi, la matematica riserva spesso sorprese ...

[veciorik]

193 il tetraedro:

$ \sum_1^(N-1) n(n+1) = ((N-1)N(N+1))/3 = 64 \ N(N+1) \quad \rightarrow \quad N-1=3*64 \quad \rightarrow \quad N=193$

192 la piramide:

$\sum_1^(N-1) n^2 = N^3/3 - N^2/2 + N/6 \le 64 \ N^2 \quad \rightarrow \quad N/192- 1/128 + 1/(376N) \le 1\quad \rightarrow \quad N =192 $

[axpgn]

@veciorik

Per tutte e due la risposta è $193$

[veciorik]

ok

[Drazen77]

Che peso grava su ogni uovo del 193º strato?
E su ogni uovo del 194º?

[axpgn]

Me lo devi dire tu ... io lo so ... ... (e so anche quante uova per quegli strati) ... e comunque SPOILER!

[veciorik]

Metodo rapido per una soluzione approssimata:

Le figure sono piramidi scalinate con altezza = lato base = $ x $

In prima approssimazione considero piramidi "liscie", senza scalini, per calcolare l'area di base A e il volume V:

di una piramide con base quadrata $ A = x^2 \qquad V = x^3/3 $

di una piramide con base triangolare equilatera $ A = x^2 * f \qquad V=x^3/3 * f \quad $ dove $ \quad f=sqrt(3)/2$

In approssimazione "bruta" esprimo il requisito del problema come $ \ V/A <= 64 $

Tradotto in $ \ x^3/(3 x^2) = x/3 <= 64 \ $ con soluzione $ \ x=192 \ $ per entrambe le piramidi "liscie"

Se, correttamente, escludo lo strato "base" dal volume: $ \ V_{\text(sup)}/A = (x-1)^3/(3x^2) \ $ ottengo $ \ x = 194 $

Se calcolo $ \ V_{\text(sup )} \ $ "arrotondando" gli scalini con altezza=lato=$ \ x-1/2 \ $ ottengo $ \ x=193$

[Drazen77]

Che peso grava su ogni uovo del 193º strato?
E su ogni uovo del 194º?

[veciorik]

@Drazen77
Riformulo le tue domande senza citare la risposta al quiz originale.

Che peso grava su ogni uovo della base ?

Nel tetraedro $(193-1)/3=64$ uova, da 2 once ciascuna.

Nella piramide $193/3 - 1/2 + 1/(6*193)=63.834...$

Che peso graverebbe su ogni uovo della base se si potesse aggiungere uno strato senza far crollare tutto ?

Nel tetraedro $(194-1)/3=64 + 1/3$ uova.

Nella piramide $194/3-1/2+1/(6*194)=64.167...$

[andomito]

io con la piramide quadrata arrivo fino al piano 256

Il trucco è rendere cava la parte centrale della piramide, ponendo le uova solo sulla superficie. Difficile da realizzare senza una impalcatura o un po' di colla, lo concedo, ma una volta fatto la struttura si regge da sola.
Fino al piano 129 (partendo dall'alto) metto le uova solo sulla superficie in uno strato spesso un uovo, poi scendendo inizio a disporle in strati via via più spessi (se no ho il collasso al piano 130). Così arrivo a coprire l'intera base al livello 256, oltre il quale avrei il collasso.
Il risultato è una piramide con dentro una cavità a forma di ottaedro di spigolo e semialtezza pari a 127 uova.
Probabilmente si potrebbe migliorare ulteriormente, inserendo ulteriori più piccole cavità (ottaedriche?) nella parte piena aggiunta, ma lascio l'esercizio a chi si vuole divertire.
Un ulteriore miglioramento si avrebbe sfruttando proditoriamente l'assunto che il peso si distribuisce uniformemente, aggiungendo dopo il piano 129 alle uova sulla superficie solo lo stretto numero di uova necessario a mantenere la pressione al di sotto del limite. Così al 193° piano ci arrivo con un peso di uova pari a circa il 4% di quello di una piramide piena consentendomi di andare avanti ancora ed ancora... certo trascurando il peso della colla che devo impiegare per tenere a posto le uova.