Un'espressione razionale

[vittorino70]

Come un certo vino : un calcolo ...per tutti !!
Siano \(\displaystyle p,q,r \) tre numeri razionali soddisfacenti la condizione:
\(\displaystyle pq+qr+rp=1 \).
Dimostrare che è razionale anche l'espressione:
\(\displaystyle E=\sqrt{(1+p^2)(1+q^2)(1+r^2)} \)

[Behave!]

Da $pq+qr+pr=1$ abbiamo $p=\frac{1-qr}{q+r}$, $q=\frac{1-pr}{p+r}$ e $r=\frac{1-pq}{p+q}$.
Allora $(1+p^2)=(\frac{1-qr}{q+r})^2+1=\frac{q^2+r^2+q^2r^2+1}{(q+r)^2}=\frac{q^2(r^2+1)+(r^2+1)}{(q+r)^2}=\frac{(q^2+1)(r^2+1)}{(q+r)^2}$,

$(1+q^2)=(\frac{1-pr}{p+r})^2+1=\frac{p^2+r^2+p^2r^2+1}{(p+r)^2}=\frac{p^2(r^2+1)+(r^2+1)}{(p+r)^2}=\frac{(p^2+1)(r^2+1)}{(p+r)^2}$,

$(1+r^2)=(\frac{1-pq}{p+q})^2+1=\frac{p^2+q^2+p^2q^2+1}{(p+q)^2}=\frac{p^2(q^2+1)+(q^2+1)}{(p+q)^2}=\frac{(p^2+1)(q^2+1)}{(p+q)^2}$.

Ora è evidente che $E=sqrt((1+p^2)(1+q^2)(1+r^2))$ è razionale.


Infatti $E=sqrt((\frac{(q^2+1)(r^2+1)}{(q+r)^2})(\frac{(p^2+1)(r^2+1)}{(p+r)^2})(\frac{(p^2+1)(q^2+1)}{(p+q)^2}))=$

$=sqrt(\frac{(p^2+1)^2(q^2+1)^2(r^2+1)^2}{(p+q)^2(q+r)^2(p+r)^2})=\frac{(p^2+1)(q^2+1)(r^2+1)}{(p+q)(q+r)(p+r)}$ è un rapporto di numeri razionali, quindi è esso stesso razionale.

[vittorino70]

Bene Behavel,buona soluzione .Per chi volesse un'alternativa metto anche la mia .

Essendo \(\displaystyle 1= pq+qr+rp \) si può scrivere che \(\displaystyle 1+p^2=pq+qr+rp+p^2=(p+q)(p+r) \)
Analogamente si ha :\(\displaystyle 1+q^2=pq+qr+rp+q^2=(q+r)(q+p) , 1+r^2=pq+qr+rp+r^2=(r+p)(r+q) \)
Sostituendo in E risulta :\(\displaystyle E=\sqrt{(p+q)^2(q+r)^2(r+p)^2}=|(p+q)(q+r)(r+p)|,\) che è razionale

[Behave!]

"vittorino70":

Essendo \(\displaystyle 1= pq+qr+rp \) si può scrivere che \(\displaystyle 1+p^2=pq+qr+rp+p^2=(p+q)(p+r) \)
Analogamente si ha :\(\displaystyle 1+q^2=pq+qr+rp+q^2=(q+r)(q+p) , 1+r^2=pq+qr+rp+r^2=(r+p)(r+q) \)
Sostituendo in E risulta :\(\displaystyle E=\sqrt{(p+q)^2(q+r)^2(r+p)^2}=|(p+q)(q+r)(r+p)|,\) che è razionale

In effetti questa soluzione è senz'altro migliore e meno macchinosa della mia.