Una strana calcolatrice

[axpgn]

Mario ha acquistato una calcolatrice particolare che compie solo due operazioni:

- può calcolare $x+y$ e $x-y$ per ogni numero $x$ e $y$
- può calcolare $1/x$ per ogni $x!=0$

Mario dice che può calcolare il quadrato di ogni numero positivo in non più di $6$ operazioni con questa calcolatrice. Voi ci riuscite?
Inoltre afferma anche che, se gli lasciate annotare i risultati intermedi e riutilizzarli nei calcoli, è in grado di moltiplicare due qualsiasi interi positivi in non più di $20$ operazioni. E voi?


Cordialmente, Alex

[apatriarca]

Mi viene in mente il seguente procedimento non ottimale per il primo punto:

a = 1 + x
b = 1 - x
c = 1/a         // = 1/(1 + x)
d = 1/b         // = 1/(1 - x)
e = c + d       // = 2/(1 - x^2)
f = 1/e         // = (1 - x^2)/2 
g = f + f       // = 1 - x^2
h = 1 - g       // = x^2

In altre parole sto calcolando
\[ x^2 = 1 - \frac{2}{\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x}}. \]
Tuttavia faccio uso di $8$ operazioni e non di $6$ come richiesto.

EDIT: Il passo $d$ è inoltre problematico nel caso $x = 1$ per cui non è valido per ogni numero positivo.

[apatriarca]

Nuovo tentativo.

$1 = x + 1
$2 = 1/$1      // = 1/(x + 1)
$3 = 1/x       // = 1/x
$4 = $2 - $3   // = - 1/(x^2 + x)
$5 = 1/$4      // = - x^2 - x
$6 = x + $5    // = - x^2
$7 = - $6      // = x^2

Non raggiunge ancora l'obiettivo ma è più vicino e ha problemi solo con $x \in \{-1, 0\}$ e quindi dovrebbe funzionare per ogni $x > 0$.

Questa volta calcolo
\[ x^2 = - \left(x + \frac{1}{\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x}}\right) \]

[apatriarca]

A volte la soluzione ce l'hai davanti agli occhi... Ovviamente era sufficiente usare
\[ x^2 = \frac{1}{\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}} - x \]
invece che calcolare il numero opposto nella frazione.

$1 = x + 1
$2 = 1/$1      // = 1/(x + 1)
$3 = 1/x       // = 1/x
$4 = $3 - $2   // = 1/(x^2 + x)
$5 = 1/$4      // = x^2 + x
$6 = $5 - x    // = x^2

[axpgn]

Però c'è un problema (che non saprei dire se lo è veramente) ...

Il testo presuppone che non si possa tenere traccia dei risultati precedenti mentre nel tuo procedimento nel passo 4 utilizzi il risultato del passo 2.
È vero che il testo non lo esclude esplicitamente ma nel secondo punto lo dice espressamente di poterlo fare quindi non saprei ...

Anch'io avevo notato che bastava cambiare segno ... comunque, per me, molto bene ...

P.S. Metti in spoiler, grazie

[apatriarca]

L'avevo notata anche io la problematica. Non so se è possibile fare di meglio per ora.

[apatriarca]

La seconda parte è risolvibile come segue (in realtà mi vengono 19 operazioni in questo caso se non ho sbagliato i calcoli).

Faccio uso del procedimento precedente per il quadrato.

$1 = square(x + y)   // = xx + 2xy + yy (7 op)
$2 = square(x - y)   // = xx - 2xy + yy (7 op)
$3 = $1 - $2         // = 4xy           (1 op)
$4 = 1/$3            // = 1/4xy         (1 op)
$5 = $4 + $4         // = 1/2xy         (1 op)
$6 = $5 + $5         // = 1/xy          (1 op)
$7 = 1/$6            // = xy            (1 op)

[axpgn]

Bello, decisamente bello!

[ot]La cosa buffa è che proviene da qualche olimpiade russa (non ho capito quale) ma è dedicato ai ragazzi grade 8/9 cioè seconda superiore al massimo (credo) [/ot]

[Quinzio]

Sono 6 operazioni ?
$1/(1/(x-1)-1/(x+1))+1/(1/(x-1)-1/(x+1))+1$

E' possibile che questo quiz sia gia' stato postato in passato ?
Io mi ricordo di averlo gia' visto...

[axpgn]

No, sono di più perché non puoi riutilizzare calcoli già fatti ...

Questo specifico problema non credo sia già stato postato però mi pare proprio che siano stati postati problemi simili ovvero riguardanti calcolatrici speciali.

[Quinzio]

Eppure... forse mi ricordavo di questo, che e' abbastanza simile.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... i#p8538510

[apatriarca]

Credo siano 8 come nel mio primo tentativo.

"Quinzio":

Sono 6 operazioni ?
$1/(1/(x-1)-1/(x+1))+1/(1/(x-1)-1/(x+1))+1$

[apatriarca]

Facendo uso di una calcolatrice RPN è possibile scrivere il primo metodo senza dover memorizzare valori intermedi o operazioni sullo stack.

x / x 1 + / - / x -

Ho provato su una calcolatrice RPN online e sono riuscito a farlo. Non credo sia possibile farlo su una calcolatrice normale usando il mio metodo.

[axpgn]

"Quinzio":Eppure... forse mi ricordavo di questo, che e' abbastanza simile.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... i#p8538510

Appunto, come dicevo è simile ma non lo stesso

[axpgn]

@apatriarca
Cosa hai usato? Non riesco a replicarla

[apatriarca]

Una calcolatrice a caso online (http://www.alcula.com/calculators/rpn/) e poi un linguaggio di programmazione chiamato Factor. Il codice è però solo per indicare la sequenza di cose da inserire (e in effetti ho scritto / per scriverlo in fretta ma forse sarebbe stato meglio usare qualcosa come [tt]recip[/tt] o inserire gli [tt]1[/tt] per la divisione). Nel programma di programmazione Factor ho scritto il seguente codice per calcolare il quadrato di 6 (nel caso dovessi scrivere una funzione avrei bisogno di fare qualche operazione sullo stack per inserire più volte x).

Codice usato come calcolatrice:

6 recip 6 1 + recip - recip 6 -

Funzione che fa uso di operazioni sullo stack per avere più copie di x:

: SQUARE ( x -- x2 ) dup dup recip swap 1 + recip - recip swap - ;

[apatriarca]

In ogni caso secondo me non è possibile calcolare questo valore usando una calcolatrice normale senza parentesi o stack in 6 operazioni. Non ho una dimostrazione per questa ipotesi, ma usando una calcolatrice normale è possibile fare solo le seguenti operazioni (ANS è il valore corrente, x il numero di cui vogliamo calcolare il quadrato e C un numero--potenzialmente negativo--reale qualsiasi) e non credo siano sufficienti a ottenere il quadrato in sole 6 operazioni.

ANS + C
ANS + x
ANS - x
1 / ANS

Non mi sembra sia possibile scrivere cose come:
\[ \frac{1}{A(x)} \pm \frac{1}{B(x)} = \frac{B(x) \pm A(x)}{A(x)B(x)} \]
per polinomi di grado 1 A e B che mi sembra essere l'unico modo per ottenere un $x^2$ senza fattori in $x$ in $B(x) \pm A(x)$. Ma forse ci sono altri metodi per ottenere qualcosa di simile.

[apatriarca]

Giocando un po' con le operazioni ho trovato la seguente formula per il cubo.

\[ x^3 = \frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{x} - x} - x} + \frac{1}{x}} \]
In Factor il calcolo è come segue:

5 recip 5 - recip 5 - recip 5 recip + recip

Se non ho sbagliato i calcoli sono solo 8 operazioni.

[axpgn]