Una proprietà sorprendente

[Piera4]

Dimostrare che per ogni sequenza $s$ di cifre che termina con 1,3,7, oppure 9
(per esempio $s=987654321$), esiste un intero $n$ tale che $n^3$ finisce con $s$.

[Sk_Anonymous]

Uh, un problema interessante! Sia $m$ un intero $> 0$. Per assurdo, ammettiamo esistano $a, b \in \{1, 2, ..., 10^m - 1}$ e coprimi con 10 tali che $a \neq b$ ed $a^3 = b^3 mod 10^m$. Allora $0 = a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) mod 10^m$. Eppure $\gcd(ab,2) = 1$, e perciò necessariamente $0 = a^2 + ab + b^2 mod 5$, i.e. $0 = (2a+b)^2 + 3b^2 mod 5$. Senonché $b$ è invertibile mod 5, e perciò dalla precedente relazione $(2ab^{-1} + 1)^2 = 2 mod 5$, ove $b^{-1}$ indica l'inverso aritmetico di b mod 5. Questo è tuttavia assurdo, siccome 2 non è un residuo quadratico mod 5. Da qui la conclusione che la funzione $\psi: Z/10^m Z \mapsto Z/10^m Z: x \mapsto x^3$ è in realtà un'iniezione di $(Z/10^mZ)^*$ in $Z/10^m Z$, dove $(Z/10^m Z)^*$ denota il gruppo degli elementi invertibili di $Z/10^m Z$. E anzi è una biezione, perché $\gcd(x^3, 10) = \gcd(x,10) = 1$, se $x$ è un intero coprimo con 10. Onde dedurre che, per ogni intero $0 < s < 10^m$ tale che $\gcd(s,10) = 1$ (i.e., sia terminante per 1, 3, 7 oppure 9, quando espresso in forma decimale), esiste un unico intero $0 < t < 10^m$ t.c. $t^3 mod 10^m = s$.

EDIT: vedi oltre.

[Piera4]

Le capacità di HiTLeuLeR sono sorprendenti proprio come il titolo del topic!
Faccio i complimenti a HiTLeuLeR non solo per aver risolto entrambi i problemi, ma anche per averli risolti in cosi’ breve tempo!

La proprietà da me proposta è apparsa sulla rivista Mathematics Magazine (aprile 2004), e sia ben inteso, senza nulla togliere alla dimostrazione di HiTLeuLeR
, riporto un [size=150]cenno[/size] a quella che dovrebbe essere la dimostrazione ufficiale.

Si procede per induzione, ottenendo via via le cifre desiderate a partire dall’ultima.
Una volta sistemate le r cifre finali ( nel senso che abbiamo trovato un intero m tale che m^3 termina con le r cifre volute) , si passa ad r+1 cifre considerando il numero $(m+c*(10)^r)^3$ per un’opportuna scelta di c.
Per maggior chiarezza riprendiamo l'esempio $s=987654321$
si parte dall'uguaglianza $1^3=1 $
poi prendendo $m=1$ e $c=4$ si ha
(1+4*10)^3=(41)^3=68921$
(41+8*(10)^2)^3=(841)^3=594823321$
(841+7*(10)^3)^3=(7841)^3=482074724321$
..........
..........

Si dimostra che il procedimento porta sempre al risultato voluto.
In effetti sviluppando il cubo
$(m+c*(10)^r)^3=m^3+3m^2*c10^r+3mc^2*10^(2r)+c^3*10^(3r),
si nota che le ultime r cifre sono le stesse di $m^3$, mentre la cifra precedente dipende solo da
$m^3+3m^2*c*(10)^r$. Ora, se l’ultima cifra della sequenza s è 1, 3, 7, o 9, si può trovare per tentativi un opportuno numero c; invece ci si convince rapidamente che non vale un risultato analogo se l’ultima cifra di s è pari o è 5.

[Piera4]

Ammetto la mia profonda ignoranza in teoria dei numeri, però riguardando la conclusione della tua dimostrazione, affermi che per ogni sequenza s non divisibile per 10 esiste un intero il cui cubo finisce per s. Pertanto, se ho ben capito, affermi che anche per le sequenze s che finiscono ad esempio per 2, 4 , 5, 6, oppure 8 è possibile trovare un intero t con la proprietà richiesta.
Tuttavia mi sembra di ricordare che quando la sequenza finisce con un numero pari o per 5, in generale l'intero t non esiste.
Cosa ne pensi?

[Sk_Anonymous]

"Piera":[...] riguardando la conclusione della tua dimostrazione, [...] affermi che anche per le sequenze s che finiscono ad esempio per 2, 4 , 5, 6, oppure 8 è possibile trovare un intero t con la proprietà richiesta.
Tuttavia mi sembra di ricordare che quando la sequenza finisce con un numero pari o per 5, in generale l'intero t non esiste. Cosa ne pensi?

Penso che ho scritto una grande ca**ata. Intendevo "per ogni sequenza s tale che $\gcd(s,10) = 1$." Che poi è appunto l'ipotesi alla base della mia dimostrazione. Correggo!!!