Una funzione particolare

[vittorino70]

Sia : \(\displaystyle f:[0,+\infty [->\mathbb{R}\) una funzione continua tale che sia \(\displaystyle f(0)=0,f(2x)\leq f(x)+x \) \(\displaystyle \forall x\geq 0 \)
Provare che \(\displaystyle f(x)

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Risposte

orazioster

7 mar 2012, 15:26

$f(x)<=f(x/2)+x/2<=...<=f(x/(2^n))+x*(1/2+1/4+...1/(2^n))$
A questo punto passo al limte per $n\to \infty$

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orazioster

7 mar 2012, 15:41

Mi accorgo ora, ma non cancello il messaggio, che era richiesta la dimostrazione della diseguaglianza stretta.

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vittorino70

7 mar 2012, 17:54

Mi sembra tutto giusto.Quanto alla diseguaglianza stretta, può forse dipendere dal passaggio al limite.
Io stà cosa non me la ricordo : ci vorrebbe l'aiuto di un analista...

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Gi81

8 mar 2012, 09:03

Guardate che la funzione $f(x)=x$ verifica $f(0)= 0$ e $f(2x) <= f(x)+x$ per ogni $x>=0$

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[orazioster]

$f(x)<=f(x/2)+x/2<=...<=f(x/(2^n))+x*(1/2+1/4+...1/(2^n))$
A questo punto passo al limte per $n\to \infty$

[orazioster]

Mi accorgo ora, ma non cancello il messaggio, che era richiesta la dimostrazione della diseguaglianza stretta.

[vittorino70]

Mi sembra tutto giusto.Quanto alla diseguaglianza stretta, può forse dipendere dal passaggio al limite.
Io stà cosa non me la ricordo : ci vorrebbe l'aiuto di un analista...

[Gi81]

Guardate che la funzione $f(x)=x$ verifica $f(0)= 0$ e $f(2x) <= f(x)+x$ per ogni $x>=0$