Una bella potenza ...

[axpgn]

Esiste un intero compreso tra $2$ e $2 xx 10^14$ che è un quadrato perfetto, un cubo perfetto e una quinta potenza perfetta.
Qual è?

Dimostrare che è unico.

Cordialmente, Alex

[dan952]

R: $2^30$.
È evidente che questo nunero deve essere una potenza 30-esima di un intero. Un candidato ideale è $2^30$, infatti $2^30<2×2^14×4^14=2^43<2×10^14$. È anche unico infatti se prendiamo la successiva 30-esima potenza, ovvero $3^30$, questa risulta essere maggiore di $2×10^14$.

[axpgn]

@dan95

È quello ma come hai dimostrato che è unico? Ovvero sei riuscito a dimostrare che $3^30$ è fuori dal range senza calcolarlo esplicitamente?

[Black Magic]

Il numero in questione deve essere una potenza di $30$. Il numero:

$2^30$ è tale che $2^30<2*10^14$.
Dunque questo numero appartiene all'insieme dato nell'ipotesi.
Non esistono altri numeri con queste proprietà tali che siano minori di $2*10^14$, infatti $3^30$ è maggiore.
Infatti:

$10^k<3^30<10^(k+1)$;
$k<30*\log(3)
In quanto esiste sempre un $k$ tale che due potenze consecutive di $10$ verifichino questa disuguaglianza. Ma $10^k$ è il più piccolo intero con $k+1$ cifre, dunque il numero di cifre di $3^30$ è $15$, per cui ...

EDIT

Per cui, al momento, mi fermo qui.

[axpgn]

@BlackMagic

Non ho capito molto però ti posso assicurare che $3^30$ non ha $16$ cifre ...

Cordialmente, Alex

[Black Magic]

"axpgn":@BlackMagic

Non ho capito molto però ti posso assicurare che $3^30$ non ha $16$ cifre ...

Cordialmente, Alex

Sia $x$ reale positivo.
Esiste sempre un $k\inNN$ per cui si verifica $10^k Se ora piglio il logaritmo in base 10 di questa disuguaglianza, devo avere:
$k<\log(x)
Ma $10^k$ è il più piccolo numero con $k+1$ cifre e quindi x deve avere esattamente $k+1$ cifre.

Risolvo la disequazione e trovo che $k=floor(x)$ e dunque il numero di cifre è $floor(x)+1$.

Ora tu dici che $3^30$ non ha sedici cifre e ti credo... $14<\log(3^30)<15$, ero stranamente convinto che fosse maggiore di 15.
Quindi $3^30$ ha 15 cifre, non 16, le stesse di $2*10^14$.
Al momento non ho idea di come dimostrare la disuguaglianza di partenza (ovviamente senza usare la calcolatrice).

Nel resto, cosa ho sbagliato?

[axpgn]

Ho detto "che non avevo capito" non "che avevi sbagliato", non è la stessa cosa ...

Adesso lo hai scritto bene, correggendo un paio di errorini ... tra cui quello importante ...

Comunque, è possibile dimostrare l'unicità di quel numero "semplicemente" come ha fatto dan per l'appartenenza all'insieme? Io ero convinto di sì perché l'avevo risolto tanto tempo fa e mi sembrava di averlo fatto così ma adesso non ne sono più tanto sicuro dato che non mi riesce di rifarlo ...

Cordialmente, Alex

[dan952]

@axpgn
Ora capisci perché ho scritto solo "risulta essere maggiore"... Ci devo ancora pensare

[axpgn]

Quello l'avevo capito subito, perciò te l'ho chiesto ...

[ot]perché non vedo mai il tuo avatar?[/ot]

[dan952]

[ot]Lo sai che non lo so neanche io lo vedo mai, mi sa che è timido...apparte gli scherzi non saprei infatti ora lo cambio[/ot]

[dan952]

Edit:

[axpgn]

Brillantissima risposta!

Comunque ti potevi fermare dopo la prima perché

$80=2^4*5^1<3^4=81\ =>\ (2^4*5^1)^3<(3^4)^3\ =>\ 2^12*5^3<3^12$

$25=5^2<3^3=27\ =>\ (5^2)^5<(3^3)^5\ =>\ 5^10<3^15$

$20=2^2*5<3^3=27$

e quindi

$10^14=2^12*5^3*5^10*2^2*5<3^12*3^15*3^3=3^30$

Non ti pare ?

Cordialmente, Alex

[dan952]

"axpgn":Brillantissima risposta!

È sbagliata, ho sbagliato uno stupido conto

[axpgn]

Hai ragione ... manca un due e quindi torna tutto come prima ... peccato, era una bella idea ...

[Black Magic]

Il numero $3^30=9^15$ come ho dimostrato prima ha $15$ cifre. Anche il numero $10^14$ ha $15$ cifre, ma è il più piccolo numero con $15$ cifre e ne consegue che $9^15>10^14$.

Quindi è vero anche che:

$\frac{9^15}{2}>\frac{10^14}{2}$.

Ma $\frac{9^15}{2}$ ha ancora $15$ cifre, cioè è maggiore o uguale a $1.0*10^14$ (perché allo stesso modo il numero di cifre è uguale a $floor(15*\log(9)-\log(2)) + 1$).
Ma allora vale la maggiorazione stretta e di conseguenza $9^15=3^30 >2.0*10^14$, perché altrimenti i due numeri avrebbero gli stessi fattori.

[axpgn]

Bene, molto bene

E senza calcolatrice si può?


Cordialmente, Alex

[dan952]

@Black
Bravo, bella dimostrazione

[dan952]

Secondo me ragazzi se si vuole dimostrare senza calcolatrice bisogna aggiungere dei fattori questo forse semplificherebbe il lavoro nel manovrare i fattori, avevo in mente di aggiungere una potenza di due e sfruttare anche la disuguaglianza $2 \cdot 3 >5$:
Ex. $2^{\alpha} \cdot 3^30>2^{15+\alpha}\cdot5^{14}$

[axpgn]

Ho già provato a sfruttare una disuguaglianza più stretta ($2^4*5<3^4\ =>\ 80<81$) ma non è servito, e più strette non ne ho trovate ...

[Pachisi]

Un metodo con molti calcoli (ed anche un po` brutto) è quello di trovare $3^15 mod 10^7$, che viene $4348907$ (trovato con calcolatrice ma si può fare col teorema cinese del resto, però è tedioso). Queste sono le ultime 7 cifre di $3^15$. Visto che $3^15$ ha otto cifre, sono tutte tranne la prima. Ora, $sqrt(2) \cdot 10^7=1414...$. Visto che $3^15$ e $sqrt(2) \cdot 10^7$ hanno lo stesso numero di cifre e visto che $sqrt(2) \cdot 10^7$ comincia per 1 e la terza cifra di $3^15$ e` maggiore della terza cifra di , $sqrt(2) \cdot 10^7$, segue che $3^15 > sqrt(2) \cdot 10^7$. Quindi, $3^30>2*10^14$.

[axpgn]

Una risposta veramente molto ingegnosa.

Converrai però che anche questa soluzione abbisogna della calcolatrice ...


Cordialmente, Alex