Una appendice ad un problema

[Sk_Anonymous]

Con riferimento ad un problema gia' postato
(vedi http://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=22290)
dimostrare che e':
$OG<=sqrt(R^2-2Rr)$
dove G ed O sono rispettivamente baricentro e circocentro del generico triangolo
ed R e r sono il circoraggio e l'inraggio di tale triangolo.
karl

[elgiovo]

Per questa volta lasciamo stare le coordinate trilineari.

Poichè $OG=sqrt(R^2-(a^2+b^2+c^2)/9)$, la tesi equivale a $(a^2+b^2+c^2)/9>=2Rr$.
Ora, si ha $r=A/p$ ed $R=(a*b*c)/(4A)$, con $A$ area del triangolo (qui ininfluente) e $p=(a+b+c)/2$,
da cui la diseguaglianza $(a^2+b^2+c^2)/9>=(a*b*c)/(a+b+c)$. (1) Possiamo scrivere la (1) in
termini di medie: infatti $(a^2+b^2+c^2)/9= (QM^2)/3$, $a*b*c=GM^3$, $a+b+c=3*AM$; da qui
$QM^2>=(GM^3)/(AM)$. Possiamo maggiorare il RHS sostituendo $AM$ con $GM$ (infatti $GM<=AM$).
Dunque $QM>=GM$, che è certamente vera, con segno di uguale sse $a=b=c$.

[Sk_Anonymous]

Perfetto ,Elgiovo.Come sempre del resto.
Appena avro' aggiunto qualche altra voce al mio programma te lo passo.
Si trattera' sempre di un modesto premio alla tua bravura.
Saluti da karl
P.S.
leggi l'altro mio post sulle multe.C'e' da divertirsi!!!

[elgiovo]

Grazie Karl! Proprio in questi giorni mi sono procurato Matlab R2007a e mi sto divertendo moltissimo.
Sono davvero curioso di provare il tuo programma!!