Un simpatico esercizio

[Chevtchenko]

Vi e' mai capitato di fare la treccia a una ragazza? A me, quand'ero alle elementari, piaceva moltissimo farla alle mie amichette... Comunque se sapete come si fa, dovreste essere in grado di dimostrare agevolmente il seguente lemma (importante in geometria differenziale, tra l'altro).

Sia $f : V \times V \times V \rightarrow K$ una forma trilineare su uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$ di caratteristica diversa da due; supponiamo che $f$ sia simmetrica nelle prime due coordinate ed antisimmetrica nelle ultime due. Allora $f$ e' identicamente nulla.

[leev]

Caratteristica diversa da due, umz
È sufficiente conoscere la definizione http://it.wikipedia.org/wiki/Caratteristica_(algebra)
?

[Chevtchenko]

L'ipotesi che la caratteristica sia diversa da due serve solo per garantire che l'implicazione $x = -x \implies x = 0$ sia valida per $x \in V$, non c'e' nemmeno bisogno di conoscere la definizione!

[leev]

Vabbé, ritorniamo qua...
non appena ci son due coordinate uguali, la funzione dà 0 vista la simmetria delle prime due e l'anti delle ultime due (che implica anche l'antisimmetria tra prima e terza).
Quindi
0=f(x+y+z,x+y+z,x+y+z)=...=f(x,y,z)+f(y,x,z)+f(z,x,y)+f(z,y,x)+f(x,z,y)+f(y,z,x).
Gli ultimi 4 termini si annullano tra loro, dunque
2f(x,y,z)=0 e f(x,y,z)=0.
No?

[Chevtchenko]

Dovrebbe essere corretto, ma e' una dimostrazione piu' complicata del necessario. Io avrei fatto cosi':
$f(x,y,z) = -f(x,z,y) = -f(z,x,y) = f(z,y,x) = f(y,z,x) = -f(y,x,z) = -f(x,y,z)$.
Si tratta di spostare le variabili proprio come quando si fa la treccia...

[leev]

sì, in effetti così è più carina