Un semplice gioco matematico

[mklplo751]

Salve,oggi per cercare di distrarmi,per almeno un giorno da un problema di analisi superiore che mi sta tormentando da un bel po',ho deciso di proporvi questo gioco.Ci tengo a precisare che conosco già la risposta,vorrei solo vedere come voi risolvereste il problema.Ecco qui il quesito: si determini \( lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\Phi^n}{F_{n-1}}} \) ,dove $Phi$ indica la sezione aurea e $F_{n-1}$ indica (n-1)-esimo numero di Fibonacci.
Se ci fosse qualcuno interessato(ne dubito fortemente) scrivo qui la mia soluzione:

Per delle proprietà della sezione aurea \( \Phi^n=F_n\Phi+F_{n-1} \) e \( lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{F_n}{F_{n-1}}}=\Phi \) e da qui faccio i seguenti passaggi: \( lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\Phi^n}{F_{n-1}}}=lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{F_n}{F_{n-1}}}\Phi+1=\Phi^2+1=\Phi+2 \) ottenendo la soluzione.

[axpgn]

Provo ...

Dato che $lim_(n->+infty) F_n/F_(n-k)=Phi^k$ allora

$lim_(n->+infty) Phi^n/F_(n-1)=lim_(n->+infty) F_(n+1)/(F_(n+1-n))*1/F_(n-1)=lim_(n->+infty) F_(n+1)/F_(1)*1/F_(n-1)=lim_(n->+infty) F_(n+1)/F_(n-1)=Phi^2$

Cordialmente, Alex

[mklplo751]

scusami,penso di non aver capito questo passaggio:

\( lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{\Phi^n}{F_{n-1}}}=lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{F_{n+1}}{F_{n+1-n}\cdot F_{n-1}}} \)

potresti,gentilmente,spiegarmelo?

[axpgn]

Oh, beh, il passaggio è semplice: ho sostituito nel tuo limite, il mio limite ... peccato che sia una mossa sbagliata ...
Ho "mischiato" gli indici in modo un po' disinvolto ...

[mklplo751]

ah,ok.

[otta96]

Provo anche io:

Sfruttando la formula $F_n=(\phi^n-(1-\phi)^n)/sqrt5$, si ha che, se io mi calcolo $\lim_{n->+\infty} F_n/\phi^(n+1)$, poi basta che faccio il reciproco di quello che mi viene per avere la soluzione del problema iniziale.
Dalla formula $F_n/\phi^(n+1)=(1-((1-\phi)/\phi)^n)/(\phisqrt5)$, e questo tende a $1/\phisqrt5$ perché $(1-\phi)/\phi<1$, quindi la soluzione del problema iniziale è $\phisqrt5$

Solo che c'è qualcosa che non va perché ci tornano due risultati diversi... Ma non so cosa... Non mi sembra che nessuno di noi abbia sbagliato qualcosa...

[mklplo751]

La tua risposta è giusta,infatti è semplice dimostrare che:

\( \sqrt5\Phi=\Phi+2 \)
ecco la dimostrazione se interessasse a qualcuno:
\( \Phi=\frac{1+\sqrt5}{2} \),\( \sqrt5\frac{1+\sqrt5}{2}=\frac{\sqrt5+5}{2} \), \( \frac{1+\sqrt5}{2}+2=\frac{5+\sqrt5}{2} \)

[otta96]

Grazie! Non ci avevo pensato!

[mklplo751]

Non c'è di che.